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이번 달 수학통조림은 ‘단위맛’이네요! 교과서에 단위라는 단원은 어디에도 없어요. 왜냐고요? 단위는 모든 영역에 걸쳐 있기 때문이죠. 단위를 모르면 수학을 속속들이 알 수 없어요. 그래서 단위에 대한 모든 것을 뽑아서 깔끔하게 다듬었어요. 이제 단위를 몰라서 수학이 힘든 일은 없을 거예요. 그럼 단위맛 통조림을 쏙쏙 떠 먹어 볼까요?

단위의 개념 트리

초등학교 때 다루는 단위는 실제로 쓰이는 생활단위로 ‘측정’ 영역에 속한다. 초등학교 1학년 1학기 ‘비교하기’ 단원에서는 임의의 단위를 사용해서 길이, 넓이, 부피, 무게 등을 비교한다. 2학기 ‘시계’에서는 시간단위가 처음 나온다. 2학년 ‘길이와 시간’ 단원에서 길이에 대한 표준단위를 처음으로 배운다. 3학년 ‘길이와 시간’에서는 주로 단위를 환산해 계산하는 내용을 다루고, ‘들이와 무게’에서는 생활과 밀접한 들이단위와 무게단위를 처음 배운다. 4학년 때 ‘각도’ 단원에서는 각의 표준단위인 직각을 배우고, 5학년 ‘넓이와 무게’에서는 아르(a), 헥타아르(ha), 톤(t)과같이 초등학생에게는 다소 생소한 단위를 배운다. 또 단위끼리 서로 환산하는 내용은 6학년의 ‘비례식’과 연결된다.

중학교에선 측정 단위를 새로 배우거나 계산하기보다는 ‘비’와 관련된 개념인 ‘속도’나 ‘농도’ 내용이 주를 이룬다. 그리고 본격적으로 ‘함수’를 배우는데, 함수의 뿌리는 초등학교에서 배웠던 단위환산이라고 볼 수 있다.


단위 요리의 기본 재료 - 단위와 측정

측정은 길이, 무게, 온도, 시간, 넓이, 속도, 각도, 농도 등을 ‘재는 것’이다. 무엇을 재려면 기준이 있어야 한다. 그래야 ‘기준의 몇 배’라고 크기를 말할 수 있다. 어떤 양의 크기를 숫자로 나타내도록 하는 기준을 ‘단위’라고 한다. 단위는 다음 조건을 만족해야 한다.

조건❶ 같은 단위를 계속 만들 수 있어야 단위지!

처음으로 길이의 표준단위를 정한 것은 1700년대 말이었다. 그 때 세계적으로 통일된 길이의 표준단위는 1m로 지구 자오선 길이의 4000만 분의 1이었다. 그런데 지구 자오선이 일정하지 않아 정확히 같은 표준단위인 1m를 쓰기가 힘들었다.그 뒤, 1960년에 열린 국제회의에서는 1m 길이의 국제적인 표준을 ‘크립톤 86 원자의 파장’으로 다시 정했다. 그래서 언제 어디서든 똑같은 길이를 만들 수 있었다. 표준단위는 이렇게 같은 단위를 계속해서 만들어 낼 수 있는 성질인 재생성이 있어야 한다.

그렇다면 시간은 어떨까? 교실마다 시계 모양은 다르지만 모두 똑같은 시각을 나타낸다. 현재 세계 어디서든 1초의 길이가 같도록 선택한 표준 시계는 ‘세슘원자시계’인데, 이 시계는 한국표준과학연구원에도 하나 보관돼 있다.
 

조건❸ 새로운 단위를 만들 수 있어야 단위지!

기본단위를 서로 조합해서 새로운 단위를 만들기도 한다. 사각형의 땅 넓이를 알려면 변이나 높이 등의 길이를 이용하는 것처럼 넓이단위는 길이단위를 조합해서 만들 수 있다. 길이는 직선으로 1차원이지만 사각형, 삼각형, 원 등의 평면도형은 2차원이므로, 넓이단위의 *차수도 2차다. 평면도형의 넓이는 정사각형이 단위도형이다.
 

부피단위 역시 길이단위를 조합해서 만들어 낼 수 있다. 정육면체 모양의 각설탕 부피를 재려면 가로, 세로, 높이가 필요하다. 길이는 직선으로 1차원이지만 직육면체는 입체도형이므로 3차원 도형이다. 따라서 부피단위의 차수는 3차다. 부피는 한 모서리의 길이가 10cm인 정육면체를 단위도형으로 한다. 이 정육면체의 부피는 1000cm³인데, 이것을 1L라고 한다. 1L는 부피의 표준단위다.
 

서로 다른 단위를 조합해서 새로운 단위를 만들기도 한다. 빠른 정도를 숫자로 나타내기 위해선 속력단위가 필요하다. 속력은 시간과 거리에 따라 그 값이 달라지기 때문에 길이단위와 시간단위에서 속력단위를 얻을 수 있다. 시간에 대한 거리의 비가 속력이므로, 속력단위는 거리단위와 시간단위를 조합해서 m/시간, km/시간, m/분 등으로 만든다.
 

단위를 배우는 참 맛!

사회 시간에는 어떤 지역의 넓이를 알아가고, 과학 시간에는 힘과 운동을 배운다. 체육 시간에 하는 활동은 초시계로 기록한다. 음악 시간에 보는 악보에는 4분음표, 8분음표 등 음의 길이단위가 나온다. 단위는 알게 모르게 우리 생활 속에 시시때때로 등장한다. 사회, 생활, 학문에서 단위를 배우는 이유를 통해 단위의 참 맛을 느껴 보자!

의사소통을 위해!

손 뼘과 보폭은 거리를 재는 도구이기도 하다. 한 뼘, 한 걸음이 단위가 된다. 허리둘레는 손뼘을 이용해 측정하고, 안방에서 현관까지의 거리는 직접 걸어가서 몇 걸음인지를 잰다.

발, 손톱, 양팔 길이 등을 도구로 사용한 것은 옛날부터다. 따로 도구가 필요하지 않아서 편리했다. 그런데 아빠 손과 내 손의 크기, 아기 발걸음과 내 발걸음의 폭이 모두 다르다. 이렇게 다른 손 뼘이나 보폭을 ‘임의단위’라고 한다. 임의단위에서 한발 더 나아간 것이 ‘민속단위’다. 예를 들면 우리나라에서는 무게를 잴 때 금은 ‘돈’이라는 단위를, 고기나 야채는 ‘근’이라는 단위를 사용했다.

하지만 미국이나 영국에서는 ‘온스’나‘ 파운드’등을 사용한다. 이렇게 사용하는 단위가 서로 다르면 상대방이 말하는 크기를 금방 알 수가 없다. 전 세계인들끼리 서로 통할 수 있는 표준단위가 필요한 이유가 바로 이것이다.

길이의 표준단위는 1cm? 1m?

길이의 표준단위는 1m이고, 그것으로 만들어진 1mm, 1cm, 1km 등은 보조단위다. 하지만 길이단위를 처음 다루는 초등학교 2학년 교과서에서는 1m가 아닌 1cm를 표준단위로 한다. 초등학생들이 1m보다는 1cm 단위를 더 친근하게 느끼기 때문이다. 2학기 때 길이 단원에서 1cm의 10배인 1dm을 배우지 않고 곧바로 100배인 1m를 배우는 이유는 일상생활에서 1dm를사용하는 일이 거의 없기 때문이다.

측정을 위해!

우리는 살아가면서 매 순간 측정을 한다. 멋진 신발을 사고, 집을 짓고, 고기를 살 때 우리 모습을 가만히 관찰해보자. 내 발의 크기를 재고, 땅의 크기를 확인하며, 방이나 거실의 크기도 잰다. 또 고기 양은 저울로 달아본다. 크리스마스를 손꼽아 기다리며 날짜를 세어 보기도 한다. 외국에서 물건을 살 때는 돈의 가치를 따진다. 이렇게 매일 측정을 하려면당연히 단위가 필요하다.

수학 공부를 위해!

수학은 관계를 다루는 과목이다. ‘단위 사이의 함수관계’를 통해서도 수학적 사고력을 키울 수 있다.

미국으로 여행을 갔다고 하자. 물건을 사려면 우리나라 돈을 미국 돈으로 바꿔야 한다. 교환하려면 가치가 같아야 한다.1달러의 가치가 1123원이면 1달러는 1123원과 대응하고 2달러는 2246원에 대응한다. 따라서 100달러짜리 물건을 사려면 1123원의 100배인 112,300원을 내야 한다. ‘달러’와 ‘원’은 서로 다른 화폐단위지만 서로 환산할 수 있다.

화폐뿐만 아니라 속력도 환산할 수 있다. 시속 120km로 달리는 기차의 속력을 분속으로 바꿀 수 있다. 1시간에 120km를가면 60분에 120km를 간다는 말과 같다. 이 때 시간을 분으로 환산했다. 그리고 60분에 120km를 간다는 것은 6분에 12km를 간다는 것이고, 1분에는 2km를 간다는 것이다. 즉 분속 2km이므로 이 기차의 속력은 2km/분이다. km를 m로 바꿔2000m/분으로 나타낼 수도 있고, 분을 초로 바꿔 초속으로 다시 환산할 수도 있다.

어떤 단위를 다른 단위로 환산할 수 있다는 것은 단위 사이에 일정한 관계가 항상 성립하기 때문이다. 따라서 환산을 잘 하면 함수 개념도 저절로 익힐 수 있다.

교과서 제대로 읽기

초등학교 교과서 5-나의 ‘넓이와 무게’ 단원에서 단위환산에 관한 내용이 주로 나온다. 환산은 서로 다른 단위를 비교해서 통일된 단위의 값만큼 교환한다는 뜻이므로 비교와 관련이 있고 특히 ‘비’ 개념이 중요하다. 단위환산 내용을 완성하기 위해 단위 사이의 관계에 주목해서 교과서를 읽어 보자.
 

‘각’과 ‘각도’는 다른 개념이다. 각은 그 자체로 하나의 ‘도형’이고, 각도는 각의 ‘크기’로 측정을 통해 얻는다.
따라서 각도에도 단위가 있다. 각의 표준단위는 1°가 아니라‘1직각’이다. 그래서 1직각을 먼저 약속하고 그 다음에 1직각을 똑같이 90으로 나눠서 나온 하나를 1°로 약속한다.
 

둘레와 넓이를 혼동하는 학생들이 많다. 교과서에는‘둘레’라는 용어를 따로 약속하지 않는데, 다각형에서 둘레란 ‘모든 변의 길의 합’이다. 따라서 둘레단위는 cm이고 넓이단위는 cm²로, 둘레와 넓이는 단위가 다르다.
 

초등학교 교과서에서는 주로 한 변이 1인 경우, 즉 1cm, 1m, 1km 등을 다뤘다. 그래서 한 변의 길이가 10m나 100m인 정사각형을 기본 단위로 하는 1a나 1ha라는 단위가 낯설다. 금세 잊는 학생들을 위해 이 관계식을 넓이단위 사이의 함수관계 그림으로 바꿔 기억해 보자. 문제 풀 때 도움이 될 것이다.
 

교과서에서는 ‘들이’를 따로 정의하지 않고 단위만 설명했다. 그래서 들이랑 부피를 혼동하기도 하는데,‘들이’의 뜻은 ‘들어가는 양’이다. 교과서의 ‘안치수’라는 표현에 바로 이런 뜻이 숨겨져 있다. 부피는 어떤 물체가 공간에서 차지하는 크기를 말하고 들이는 어떤 용기에 담을 수 있는 양의 크기를 말한다. 들이단위와 부피단위가 같은 이유는 둘 다 평면이 아닌 ‘공간’에서의 크기이기 때문이다.
 

x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해지면 y는 x의 함수라고 한다. 시간이 정해지면 고속 열차가 얼마나 움직였는지 알 수 있고, 시간과 거리의 관계를 일차식으로 나타낼 수 있다. 그 이유는 속도가 항상 일정하기 때문이고, 속력이 일정하다는 것은 ‘1분에 5km’라는 표현 속에 숨겨져 있다. 1분에 5km라는 것은 분당 속력이 5km라는 것이고‘km/분’이라는 단위를 써서 나타내면 이 열차의 속력은 5km/분이다.
 

생활 속 단위 맛 내기
 

단위는 우리 일상생활 모든 곳에서 찾아볼 수 있다. 아침에 일어나 밤새 얼마나 컸는지 알기 위해 키를 재거나, 샤워를 하고 나오면서 몸무게를 재기도 한다. 혹시 신종플루에 걸리지나 않았는지 체온을 재고, 학교에 지각하지나 않을까 노심초사하며 시간을 재는 일도 있다. 급히 뛰어가다가도 코너를 돌 땐 속도를 줄이기도 한다. 넓은 운동장에서 체육 시간에 멀리 던지기를 할 때 가장 멀리 던질 수 있는 각도가 얼마인지 고민하고, 급식을 먹을 땐 오늘 된장국은 엄마가 만들어 준 것보다 약간 짠 것 같다는 생각을 한다. 이처럼 모든 활동에는 ‘측정’이 있다.

키를 잴 때는 cm, m 등의 길이단위를 사용하고 몸무게를 잴 때는 kg, g 등의 눈금이 적힌 저울을 사용한다. 체온을 잴 때는 어는점을 0°로 해서 만든 섭씨온도계를 사용하고, 운동장이나 체육관의 넓이는 m² 단위를 사용한다. 단체 급식을만들 때는 저울을 사용해서 양과 맛이 짜거나 싱거운 정도, 즉 농도를 조절한다.

수학 시간에 배운 길이, 넓이단위는 일상생활에서 실제로 자주 사용된다. 침실3의 가로는 4.5m(=4500mm)이고 세로는 4.65m(=4650mm)이다. 가로길이와 세로길이를 곱하면 방의 넓이 20.925가 나온다. 즉 이 방의 크기가 20.925㎡인 것이다.얼마 전까지 우리나라 사람들이 생활 속에서 익숙하게 사용하던 넓이단위는 ‘평’이었다. 1평은 3.3㎡이므로, 20.925㎡를 평 단위로 계산하면 20.925÷3.3=6.3408…이므로, 이 방의 크기는 약6.3평이다.

컴퓨터에서 사용하는 단위는 ‘비트’다. 비트 8개가 모이면 1바이트가 된다. 어떤 USB의 용량이 2기가바이트라면, 10억 바이트를 저장할 수 있다.