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경기과학고와 서울대를 졸업하고 현재 파인만 논술연구소 소장으로 있으며 메가스터디에서 수리과학 통합논술을 강의하고 있다. 공동 저서로는 ‘동아일보 이지논술 수리·과학논술편’‘올플 600제 시리즈(수학·과학)’ 등이 있다.
상당수 학생들이 대학 입시에서 논술고사가 큰 영향을 끼치지 않는다고 생각한다. 서울대를 제외하면 정시전형에서 더 이상 논술이 필요 없기 때문이다. 하지만 2009학년도부터 중상위권 이상 대학 대부분은 정시보다 수시전형에서 학생을 더 많이 선발한다. 수시전형을 포기하면 대학 입시 기회의 절반을 버리는 셈이니 논술은 여전히 중요하다.
자연계논술에는 수능이나 내신에 없는 수리·과학 통합 영역이 존재한다. 현재 수리·과학 통합논술을 출제하는 학교는 서울대, 연세대, 고려대, 한양대, 성균관대, 중앙대, 경희대, 건국대, 인하대 등이다.
가장 많이 출제되는 유형은 과학적 상황을 수학적으로 유도하거나 과학 공식을 복잡한 상황에 수학적으로 적용하는 식이다. 간혹 교과과정을 넘어서는 내용이 출제되지만 제시문을 이해하고 수학적으로 적용하는 능력을 묻는 경우가 많다.
이 코너를 통해 수리·과학 통합논술을 잘 이해하고 다양한 문제를 경험하면서 문제해결능력을 키워가길 바란다. 이번 호에서는 난이도가 낮고 간단한 3문항을 풀어보면서 수리·과학 통합논술을 맛보는 기회로 삼는다.
<사례 1> 컵 속 포물면
(가) 물 표면은 힘을 받는 방향과 직각을 이룬다. 일부 수면이 높아지면 위치에너지 차이가 생겨 물이 흐르고 결국 힘을 받는 방향과 수면이 직각을 이룬다. 물을 담은 수조가 가속 운동을 하면 합력이 중력 방향과 달라져 수면이 지면에 대해 평행하지 않게 된다.
(나) 회전하는 물체는 중심의 반대방향으로 원심력을 갖는다. 원심력의 크기는 m V2/r또는 mrw2인데 m은 질량, r은 회전반경, v는 선속도, w는 각속도다.
[논제] 제시문을 참고해 컵에 물을 넣고 회전시킬 때 중심부가 오목하게 패이면서 수면 모양이 포물면을 이루는 이유를 설명하시오.
전문가 클리닉
수리·과학 통합논술은 과학적 상황을 바탕으로 하는 경우가 많기 때문에 상황에 대한 과학적 이해가 우선이다. 논제 풀이에 필요한 과학적 지식이 제시문에 설명되지만 처음 접하는 학생에게는 큰 도움이 되지 않을 수도 있다. 원심력은 물리Ⅱ에서 다루지만 자연계논술에서는 필수 개념이다.
원심력과 관련된 내용이 출제되면 겁을 먹고 문제 풀이를 포기하는 학생이 많다. 생각하는 것만큼 높은 수준을 요구하는 문제가 아님에도 주제 자체가 생소하기 때문이다. 제시문에 주어진 개념을 적절히 활용하는 능력이 필요하다.
예시답안
w를 각속도, x를 유체 표면에 있는 점 P의 회전반경이라고 한다. 유체 표면에 있는 점 P에서 중력은 F1=mg이고 원심력은 F2=mxw2다.
심화학습
<사례 2> 중력에 의한 위치에너지
(가) 지구상에 있는 모든 물체는 지구 중심을 향하는 중력을 받는다. 지면에서 어떤 높이에 있는 질량 m인 물체는 연직 방향으로 크기가 mg인 중력을 받아 낙하하면서 다른 물체에 일을 할 수 있다. 높은 곳에 있는 물체가 갖는 에너지를 중력에 의한 위치에너지 또는 위치에너지라고 한다.
기준면에 놓여 있는 질량 m인 물체를 들어 올릴 때 필요한 힘 F는 물체의 중력 mg와 크기가 같다. 물체를 높이 h까지 들어 올릴 때 한 일 W는 W=F·s=mgh이다. 물체는 높이 h인 곳에 있을 때 mgh의 에너지를 갖는다. 높이 h인 곳에서 낙하하는 물체는 mgh만큼의 일을 다른 물체에 할 수 있다. 기준면에서 높이 h에 있는 질량 m인 물체의 중력에 의한 위치에너지 Ep=mgh이다.
(나) 만유인력에 의한 중력에너지를 중력포텐셜에너지라고 한다. 지구로부터 아주 먼 거리에 있는 물체를 지구에서 거리 r인 지점까지 갖고 올 때 지구의 중력이 한 일 W는 중력에너지의 감소에 해당한다. 외부에 일을 하면 일을 한 양만큼 내부에너지가 감소하기 때문이다. 중력에너지의 기준을 r=∞인 곳으로 정하면 중력에너지 U는 다음과 같다.
[논제] 지구의 만유인력에 의한 중력에너지와 지표에서의 위치에너지는 지구 중력에 의해 발생하는 같은 에너지임에도 제시문처럼 다른 형태로 나타난다. 그 이유에 대해 설명하시오.
전문가 클리닉
제시문 (나)에 언급된 중력에너지 U(r)=-GMem/r는 교과 과정에서 배우지 않는 내용이다. 상위권 대학 자연계논술은 이처럼 간혹 교과 과정을 넘어서는 내용을 언급하는 경우가 있다. 언급된 공식을 필요 이상으로 이해하려 하면 문제풀이에 필요한 내용 이상을 신경 쓰다가 논제 해결에 실패하게 된다. 식 자체가 어렵지 않은 만큼 식을 그대로 받아들이고 논제 요구 사항에 초점을 맞추는 자세가 중요하다.
과학 공식에는 제한된 상황에서 적용되는 근사식이 많다. 지표 근처에서 중력에 의해 생기는 위치에너지 mgh도 근사식 중 하나다. 근사식을 구하는 방법을 정리하는 기회로 활용한다.
예시답안
심화학습
곡선의 근사법으로 구하고자 하는 위치에서 접선 방정식을 이용하는 방법이 있다. 곡선 y=f(x)에 위치하는 (x0, f(x0))에서 접선 방정식은 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)이다. 접선 방정식은 x0 근처에서 f(x)값을 근사적으로 추정할 때 이용된다. x=x0+h(단 h는 작은 값)에서 함수의 근사값은 f(x0+h)?f'(x0)·h+f(x0)이다. 지표 부근에서 사용하는 U=mgh도 이런 근사의 일종이다. 이때 지표 부근의 특정 높이에서 위치에너지를 0으로 놓기 때문에 f(x0)에 해당하는 값은 무시한다.
<사례 3> 열에 의한 금속의 팽창계수
(가) 유리그릇의 금속 뚜껑이 꽉 조여 있을 때 뜨거운 수증기를 쪼이면 뚜껑이 느슨해지면서 쉽게 열린다. 뚜껑 온도가 올라가면서 금속 뚜껑이 유리그릇에 비해 더 팽창하기 때문이다. 열팽창 현상은 뜨거운 여름철 늘어나 휘어지는 철로처럼 항상 바람직하진 않다.
온도 변화에 따른 열팽창은 단위온도 변화에 대한 길이나 부피 변화비로 나타낸다. 이를 선팽창계수 또는 부피팽창계수라고 한다. 선팽창계수는 고체의 팽창을 표현할 때 쓰이고 부피팽창계수는 액체나 기체의 열팽창에 사용된다.
열팽창은 온도가 높아짐에 따라 원자 사이의 거리가 멀어져 발생한다. 결합력의 차이 때문에 물질마다 변화비가 달라 팽창계수는 물질의 특성이 된다.
(나) 길이 L인 금속막대의 온도가 △T만큼 올라가면 늘어난 길이 △L은 원래 금속막대의 길이와 온도 변화에 비례한다.
△L=αL△T
α는 선팽창계수로 단위 온도변화 당 길이가 늘어난 비율을 나타낸다. α는 온도에 따라 변하지만 대부분의 경우 상온에서 상수로 다룬다.
(다) 온도가 올라갈 때 고체가 모든 방향으로 늘어난다면 고체의 부피도 팽창한다. 액체에서 부피 팽창은 유일하게 의미 있는 팽창변수다. 부피가 V인 고체 또는 액체의 온도가 △T만큼 증가하면 부피는 다음과 같이 증가한다.
△V=βV△T
β는 고체나 액체의 부피팽창계수를 나타내며 고체의 부피팽창계수와 선팽창계수가 이루는 관계는 β=3α와 같다.
[논제] 선팽창계수와 부피팽창계수의 정의를 이용해 부피팽창계수 β가 선팽창계수 α의 3배임을 설명하시오.
전문가 클리닉
온도에 따른 금속의 열팽창을 이해하고 주어진 상황을 기하학적으로 응용할 수 있는지 묻는 문제다. 주어진 식을 펼쳐놓고 기하학적 도형을 이용해 비교한다. 지식이나 기억에 의존하기보다 실제로 해보면서 문제를 해결하는 유형이다.
예시답안
일정한 온도 변화 △T에서 각 변의 길이가 L인 정육면체 금속이 열팽창 하는 상황을 가정하자. 제시문 (나)에 나오는 선팽창으로 인한 길이 증가분 △L은 αL△T이다.
모든 방향으로 선팽창이 일어나므로 금속 부피 변화량 △V는 V=△V(L+△L)-V(L)이다. 이를 L과 △L로 표현하면 다음과 같다.
△V=V(L+△L)-V(L)=(L+△L)3-L3
=3L2△L+3L3 (△L) 2+(△L) 3
온도 변화가 아주 크지 않다면 L≫△L이다. 이를 이용해 (△L) 2과 (△L) 3을 근사적으로 생략하면 △V∼3L2△L과 같이 표현된다. 여기에 △L=αL△T을 대입하면 L≫△L인 조건에서 3α∼β이다.
상당수 학생들이 대학 입시에서 논술고사가 큰 영향을 끼치지 않는다고 생각한다. 서울대를 제외하면 정시전형에서 더 이상 논술이 필요 없기 때문이다. 하지만 2009학년도부터 중상위권 이상 대학 대부분은 정시보다 수시전형에서 학생을 더 많이 선발한다. 수시전형을 포기하면 대학 입시 기회의 절반을 버리는 셈이니 논술은 여전히 중요하다.
자연계논술에는 수능이나 내신에 없는 수리·과학 통합 영역이 존재한다. 현재 수리·과학 통합논술을 출제하는 학교는 서울대, 연세대, 고려대, 한양대, 성균관대, 중앙대, 경희대, 건국대, 인하대 등이다.
가장 많이 출제되는 유형은 과학적 상황을 수학적으로 유도하거나 과학 공식을 복잡한 상황에 수학적으로 적용하는 식이다. 간혹 교과과정을 넘어서는 내용이 출제되지만 제시문을 이해하고 수학적으로 적용하는 능력을 묻는 경우가 많다.
이 코너를 통해 수리·과학 통합논술을 잘 이해하고 다양한 문제를 경험하면서 문제해결능력을 키워가길 바란다. 이번 호에서는 난이도가 낮고 간단한 3문항을 풀어보면서 수리·과학 통합논술을 맛보는 기회로 삼는다.
<사례 1> 컵 속 포물면
(가) 물 표면은 힘을 받는 방향과 직각을 이룬다. 일부 수면이 높아지면 위치에너지 차이가 생겨 물이 흐르고 결국 힘을 받는 방향과 수면이 직각을 이룬다. 물을 담은 수조가 가속 운동을 하면 합력이 중력 방향과 달라져 수면이 지면에 대해 평행하지 않게 된다.
(나) 회전하는 물체는 중심의 반대방향으로 원심력을 갖는다. 원심력의 크기는 m V2/r또는 mrw2인데 m은 질량, r은 회전반경, v는 선속도, w는 각속도다.
[논제] 제시문을 참고해 컵에 물을 넣고 회전시킬 때 중심부가 오목하게 패이면서 수면 모양이 포물면을 이루는 이유를 설명하시오.
전문가 클리닉
수리·과학 통합논술은 과학적 상황을 바탕으로 하는 경우가 많기 때문에 상황에 대한 과학적 이해가 우선이다. 논제 풀이에 필요한 과학적 지식이 제시문에 설명되지만 처음 접하는 학생에게는 큰 도움이 되지 않을 수도 있다. 원심력은 물리Ⅱ에서 다루지만 자연계논술에서는 필수 개념이다.
원심력과 관련된 내용이 출제되면 겁을 먹고 문제 풀이를 포기하는 학생이 많다. 생각하는 것만큼 높은 수준을 요구하는 문제가 아님에도 주제 자체가 생소하기 때문이다. 제시문에 주어진 개념을 적절히 활용하는 능력이 필요하다.
예시답안
w를 각속도, x를 유체 표면에 있는 점 P의 회전반경이라고 한다. 유체 표면에 있는 점 P에서 중력은 F1=mg이고 원심력은 F2=mxw2다.
심화학습
<사례 2> 중력에 의한 위치에너지
(가) 지구상에 있는 모든 물체는 지구 중심을 향하는 중력을 받는다. 지면에서 어떤 높이에 있는 질량 m인 물체는 연직 방향으로 크기가 mg인 중력을 받아 낙하하면서 다른 물체에 일을 할 수 있다. 높은 곳에 있는 물체가 갖는 에너지를 중력에 의한 위치에너지 또는 위치에너지라고 한다.
기준면에 놓여 있는 질량 m인 물체를 들어 올릴 때 필요한 힘 F는 물체의 중력 mg와 크기가 같다. 물체를 높이 h까지 들어 올릴 때 한 일 W는 W=F·s=mgh이다. 물체는 높이 h인 곳에 있을 때 mgh의 에너지를 갖는다. 높이 h인 곳에서 낙하하는 물체는 mgh만큼의 일을 다른 물체에 할 수 있다. 기준면에서 높이 h에 있는 질량 m인 물체의 중력에 의한 위치에너지 Ep=mgh이다.
(나) 만유인력에 의한 중력에너지를 중력포텐셜에너지라고 한다. 지구로부터 아주 먼 거리에 있는 물체를 지구에서 거리 r인 지점까지 갖고 올 때 지구의 중력이 한 일 W는 중력에너지의 감소에 해당한다. 외부에 일을 하면 일을 한 양만큼 내부에너지가 감소하기 때문이다. 중력에너지의 기준을 r=∞인 곳으로 정하면 중력에너지 U는 다음과 같다.
[논제] 지구의 만유인력에 의한 중력에너지와 지표에서의 위치에너지는 지구 중력에 의해 발생하는 같은 에너지임에도 제시문처럼 다른 형태로 나타난다. 그 이유에 대해 설명하시오.
전문가 클리닉
제시문 (나)에 언급된 중력에너지 U(r)=-GMem/r는 교과 과정에서 배우지 않는 내용이다. 상위권 대학 자연계논술은 이처럼 간혹 교과 과정을 넘어서는 내용을 언급하는 경우가 있다. 언급된 공식을 필요 이상으로 이해하려 하면 문제풀이에 필요한 내용 이상을 신경 쓰다가 논제 해결에 실패하게 된다. 식 자체가 어렵지 않은 만큼 식을 그대로 받아들이고 논제 요구 사항에 초점을 맞추는 자세가 중요하다.
과학 공식에는 제한된 상황에서 적용되는 근사식이 많다. 지표 근처에서 중력에 의해 생기는 위치에너지 mgh도 근사식 중 하나다. 근사식을 구하는 방법을 정리하는 기회로 활용한다.
예시답안
심화학습
곡선의 근사법으로 구하고자 하는 위치에서 접선 방정식을 이용하는 방법이 있다. 곡선 y=f(x)에 위치하는 (x0, f(x0))에서 접선 방정식은 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)이다. 접선 방정식은 x0 근처에서 f(x)값을 근사적으로 추정할 때 이용된다. x=x0+h(단 h는 작은 값)에서 함수의 근사값은 f(x0+h)?f'(x0)·h+f(x0)이다. 지표 부근에서 사용하는 U=mgh도 이런 근사의 일종이다. 이때 지표 부근의 특정 높이에서 위치에너지를 0으로 놓기 때문에 f(x0)에 해당하는 값은 무시한다.
<사례 3> 열에 의한 금속의 팽창계수
(가) 유리그릇의 금속 뚜껑이 꽉 조여 있을 때 뜨거운 수증기를 쪼이면 뚜껑이 느슨해지면서 쉽게 열린다. 뚜껑 온도가 올라가면서 금속 뚜껑이 유리그릇에 비해 더 팽창하기 때문이다. 열팽창 현상은 뜨거운 여름철 늘어나 휘어지는 철로처럼 항상 바람직하진 않다.
온도 변화에 따른 열팽창은 단위온도 변화에 대한 길이나 부피 변화비로 나타낸다. 이를 선팽창계수 또는 부피팽창계수라고 한다. 선팽창계수는 고체의 팽창을 표현할 때 쓰이고 부피팽창계수는 액체나 기체의 열팽창에 사용된다.
열팽창은 온도가 높아짐에 따라 원자 사이의 거리가 멀어져 발생한다. 결합력의 차이 때문에 물질마다 변화비가 달라 팽창계수는 물질의 특성이 된다.
(나) 길이 L인 금속막대의 온도가 △T만큼 올라가면 늘어난 길이 △L은 원래 금속막대의 길이와 온도 변화에 비례한다.
△L=αL△T
α는 선팽창계수로 단위 온도변화 당 길이가 늘어난 비율을 나타낸다. α는 온도에 따라 변하지만 대부분의 경우 상온에서 상수로 다룬다.
(다) 온도가 올라갈 때 고체가 모든 방향으로 늘어난다면 고체의 부피도 팽창한다. 액체에서 부피 팽창은 유일하게 의미 있는 팽창변수다. 부피가 V인 고체 또는 액체의 온도가 △T만큼 증가하면 부피는 다음과 같이 증가한다.
△V=βV△T
β는 고체나 액체의 부피팽창계수를 나타내며 고체의 부피팽창계수와 선팽창계수가 이루는 관계는 β=3α와 같다.
[논제] 선팽창계수와 부피팽창계수의 정의를 이용해 부피팽창계수 β가 선팽창계수 α의 3배임을 설명하시오.
전문가 클리닉
온도에 따른 금속의 열팽창을 이해하고 주어진 상황을 기하학적으로 응용할 수 있는지 묻는 문제다. 주어진 식을 펼쳐놓고 기하학적 도형을 이용해 비교한다. 지식이나 기억에 의존하기보다 실제로 해보면서 문제를 해결하는 유형이다.
예시답안
일정한 온도 변화 △T에서 각 변의 길이가 L인 정육면체 금속이 열팽창 하는 상황을 가정하자. 제시문 (나)에 나오는 선팽창으로 인한 길이 증가분 △L은 αL△T이다.
모든 방향으로 선팽창이 일어나므로 금속 부피 변화량 △V는 V=△V(L+△L)-V(L)이다. 이를 L과 △L로 표현하면 다음과 같다.
△V=V(L+△L)-V(L)=(L+△L)3-L3
=3L2△L+3L3 (△L) 2+(△L) 3
온도 변화가 아주 크지 않다면 L≫△L이다. 이를 이용해 (△L) 2과 (△L) 3을 근사적으로 생략하면 △V∼3L2△L과 같이 표현된다. 여기에 △L=αL△T을 대입하면 L≫△L인 조건에서 3α∼β이다.
