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경기과학고와 서울대를 졸업하고 현재 파인만 논술연구소 소장으로 있으며 메가스터디에서 수리과학 통합논술을 강의하고 있다. 공동 저서로는 ‘동아일보 이지논술 수리·과학논술편’ ‘올플 600제 시리즈(수학·과학)’ 등이 있다.
자연계논술의 범위는 과학I과 공통과학을 바탕으로 출제되는 것이 원칙이다. 하지만 적지 않은 대학이 과학Ⅱ나 그 이상 범위에 포함되는 소재를 출제하고 있다. 과학Ⅱ를 알고 있다는 전제로 출제하는 경우도 있지만 많은 경우 제시문에서 추론 가능한 문제를 묻는다. 과학Ⅱ에 나오는 소재를 추론해 해결하는 논제를 풀어보자.
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
제시문_가
은하수의 빛줄기에서 조금만 빗겨나도 밤하늘이 칠흑같이 어두워진다. 공기의 존재를 의식하지 못한 채 자유로이 숨을 쉬듯 우리는 밤의 어두움에 너무 익숙해 밤하늘이 어둡다는 사실 자체를 잊고 산다. 누가 밤하늘이 왜 어두운가라고 묻는다면 의아한 눈초리로 질문한 사람을 되돌아 볼 것이다. 그러나 밤하늘의 어두움에는 깊은 신비가 도사리고 있다.
다음과 같은 사고 실험을 통해 문제의 핵심에 접근해보자. 커다란 고무공 한복판에 지구가 자리잡고 있고 공의 껍질에 별들이 박혀 있다고 상상하자. 별은 공의 중심에서 똑같은 거리에 있으므로 지구에 사는 우리에게 모두 같은 겉보기 밝기로 보인다. 별 하나하나의 절대 밝기는 동일하다고 생각한다.
껍질 두께는 같지만 반지름이 2배인 고무공을 하나 더 머리 속에 그려보자. 절대 밝기는 같아도 2배 멀리 떨어져 있으므로 두 번째 공껍질에 박혀있는 별은 첫 번째 공에 있는 별보다 배 흐리게 보인다. 그러나 두 번째 공껍질에 있는 별의 총수는 첫 번째 공껍질의 4배다. 겉넓이가 4배로 늘었기 때문이다. 별 하나의 겉보기 밝기는 배 줄었지만 별의 총수가 4배 늘었기 때문에 두 번째 껍질의 별에서 지구로 보내는 빛의 전체 양은 첫 번째 껍질 별이 보내는 양과 같다. 지구에서 느끼는 밤하늘의 밝기는 첫 번째 공만 생각했을 때 밝기의 2배가 된다.
공의 반지름을 계속 늘리면서 같은 생각을 반복하면 지구에서 보는 밤하늘의 밝기는 무한대가 돼야 한다. 겉보기 밝기는 거리의 제곱에 반비례해 감소하지만 겉넓이는 제곱에 비례해 증가한다. 공껍질 하나하나의 전체 밝기는 반지름, 즉 거리에 무관하게 일정하다. 우주가 무한하다면 무한히 많은 공껍질을 상상할 수 있으며 밤하늘의 밝기는 무한대가 된다.
제시문_나
시간에 따라 변위가 바뀌는 모습이 사인(sin) 또는 코사인(cos) 함수로 나타나는 진동을 단진동이라 한다. 가장 대표적인 예는 물체를 매단 상태에서 왕복 운동하는 용수철의 단진동 운동이다.
용수철의 단진동 운동을 표현하려면 운동 상태에 대해 살펴봐야 한다. 용수철을 평형 위치에서 A(진폭)만큼 잡아당긴 다음 놓을 때 평형 위치로부터 물체의 변위를 x(t)라 하면 운동 2법칙에 따라 운동 상태가 다음과 같이 표현된다.
F=ma=m d2x/dt2 = -kx
(-)부호는 복원력이다. 평형 위치로부터 변위 방향과 반대 방향으로 복원력이 작용하면 단진동 운동이 이뤄진다. 식은 다음과 같이 정리된다.
d2x/ dt2= -k/m x= -ω2x
x(t)의 이계도함수가 원래 함수의 음의 값에 비례하는 대표적인 함수는 사인과 코사인 함수다. 시간에 따른 용수철의 변위는 x(t)=Asin(ωt+a)로 표현되며 이때 ω=√k/m 이고 주기 T=dπ/ω이다. ω는 원운동의 각속도에 해당하며 원운동이 이뤄지는 평면에 대해 특정 각도에서 원운동을 보았을 때 운동 상태로 해석된다.
Q
1) 구껍질에만 질량이 존재하고 내부는 비어있는 가상의 행성이 존재할 때 행성 내부에 중력이 작용하지 않음을 설명하라.
2) 반지름이 Re인 지구의 밀도가 일정하다고 가정한다. 지구 중심에서 x(0 ≤ x ≤Re)만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체가 지구로부터 받는 중력에 대해 설명하라. (단 만유인력 상수는 G, 지구 질량은 Me이다.)
3) 지구 중심을 관통해 지구 반대편까지 뚫린 터널이 있다. 이 터널에 물체를 떨어뜨렸을 때 운동 상태를 제시문을 참고해 설명하라. (단 마찰은 무시한다.)
전문가 클리닉
1) 논제 형태로 주어지기보다 제시문을 통해 제시될 가능성이 높은 문제입니다. 풀이 방법을 떠올리는 일이 쉽지 않은 문제이지만 어려운 내용은 아니므로 배운다는 생각으로 정리해 봅시다.
2) “설명하라”는 질문을 그대로 받아들이면 안 됩니다. 논제와 조건의 특성상 수식으로 풀이가 가능한 문제입니다. 출제의도를 파악하고 출제자가 원하는 형태로 풀어야 합니다. 논제 1의 결과를 이용해 지구 내부의 중력을 수리적으로 분석하는 것이 풀이의 핵심입니다. 지구 내부로 갈수록 중력은 감소합니다.
3) 제시문을 이해한 뒤 내용을 활용해 논제 결과를 추론하는 문제입니다. 제시문 교과 내용을 벗어나는 만큼 추론해 풀어야 합니다.
2) 논제 1의 결과에 의해 반지름이 Re인 지구의 중심 O에서 x(단 x≤Re)만큼 떨어진 곳에서 이보다 멀리 떨어져 있는 지구 구성물은 서로 균형을 이루기 때문에 중력에 영향을 미치지 못한다. 지구 중심에서 x만큼 떨어진 곳에 존재하는 질량 m인 물체에 작용하는 중력에 영향을 미치는 지구 구성물은 반지름이 x인 구 내부에 한정된다. 다음 그림을 참고해 생각한다.
>>생각해 보기
가장 대표적인 단진동 운동인 단진자에 대해 정리해보자. 길이가 L이고 무게가 없는 실에 질량이 m인 추를 매달고 작은 각도 θ로 흔들면 단진동 운동을 하는 단진자가 된다. 질량 m인 물체가 궤도를 따라 이동한 지점에서 변위는 x다. 운동 궤도 방향으로 작용하는 힘은 mgsinθ이고 이때 운동방정식은 다음과 같다.
>>심화자료_올버스 패러독스
제시문 (가)에 언급된 사실은 과학사적으로 유명한 이야기로 19세기 과학자 하인리히 올버스의 이름을 따서 ‘올버스 패러독스’라고 불린다. 올버스의 논리는 다음 3가지 전제에서 출발한다.
① 우주는 무한하다.
② 별의 분포 밀도는 일정하다.
③ 별의 밝기(절대광도)는 모두 일정하다.
관찰자인 지구에서 r만큼 떨어져 있고 일정한 두께 △r을 가진 구껍질을 가정하자. 모든 별의 밝기가 일정하기 때문에 구껍질의 절대광도는 껍질에 포함된 별의 개수에 비례한다. 별의 분포 밀도가 일정하므로 구껍질의 절대광도는 부피에 비례한다. △r≪r이면 구의 표면적에 두께를 곱해 근사적으로 구껍질의 부피 4πr2△r를 구할 수 있다.
구껍질의 광도 =(별의 개수)∝(구껍질의 부피)
=4πr2△r∝r2
지구에서 관찰되는 구껍질의 밝기는 광원에서 나온 빛이 공간에 퍼지는 형태에 따라 에 비례한다.
구껍질의 밝기
=(구껍질의 광도)×1/r2∝ r2×1/r2∝ 일정
주어진 전제 하에서 구껍질의 관찰되는 밝기는 거리 r과 무관하다. 그러므로 어떤 거리에 있는 구껍질을 잡아도 두께만 일정하면 지구에서 관찰되는 밝기가 일정하다. 조건 ①에 의해 우주는 무한하므로 지구에서 관찰되는 구껍질의 개수는 무한대이며 밝기의 총합도 무한대가 된다. 하지만 이론과 달리 현실의 밤하늘은 그다지 밝지 않다. 여기서 패러독스가 발생한다.
올버스는 “우주 공간에는 먼 곳에서 오는 빛을 흡수하는 암흑성 물질이 존재한다. 암흑성 물질이 존재하므로 지구에 오는 빛의 양은 유한하다”라는 방법으로 이 문제를 해결하려 했다. 그러나 빛을 흡수하는 항성 사이의 물질도 결국 흡수한 에너지에 의해 가열되고 다시 빛에너지를 방출해야 하기 때문에 패러독스는 해결되지 않는다.
보통 이 패러독스는 우주의 유한성으로 설명된다. 우주의 나이가 존재하고 빛의 속도가 유한하기 때문에 실제 우주의 무한 여부를 떠나 우리가 볼 수 있는 우주는 유한하다. 그로 인해 밤하늘의 밝기는 유한값을 갖는다.
자연계논술의 범위는 과학I과 공통과학을 바탕으로 출제되는 것이 원칙이다. 하지만 적지 않은 대학이 과학Ⅱ나 그 이상 범위에 포함되는 소재를 출제하고 있다. 과학Ⅱ를 알고 있다는 전제로 출제하는 경우도 있지만 많은 경우 제시문에서 추론 가능한 문제를 묻는다. 과학Ⅱ에 나오는 소재를 추론해 해결하는 논제를 풀어보자.
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
제시문_가
은하수의 빛줄기에서 조금만 빗겨나도 밤하늘이 칠흑같이 어두워진다. 공기의 존재를 의식하지 못한 채 자유로이 숨을 쉬듯 우리는 밤의 어두움에 너무 익숙해 밤하늘이 어둡다는 사실 자체를 잊고 산다. 누가 밤하늘이 왜 어두운가라고 묻는다면 의아한 눈초리로 질문한 사람을 되돌아 볼 것이다. 그러나 밤하늘의 어두움에는 깊은 신비가 도사리고 있다.
다음과 같은 사고 실험을 통해 문제의 핵심에 접근해보자. 커다란 고무공 한복판에 지구가 자리잡고 있고 공의 껍질에 별들이 박혀 있다고 상상하자. 별은 공의 중심에서 똑같은 거리에 있으므로 지구에 사는 우리에게 모두 같은 겉보기 밝기로 보인다. 별 하나하나의 절대 밝기는 동일하다고 생각한다.
껍질 두께는 같지만 반지름이 2배인 고무공을 하나 더 머리 속에 그려보자. 절대 밝기는 같아도 2배 멀리 떨어져 있으므로 두 번째 공껍질에 박혀있는 별은 첫 번째 공에 있는 별보다 배 흐리게 보인다. 그러나 두 번째 공껍질에 있는 별의 총수는 첫 번째 공껍질의 4배다. 겉넓이가 4배로 늘었기 때문이다. 별 하나의 겉보기 밝기는 배 줄었지만 별의 총수가 4배 늘었기 때문에 두 번째 껍질의 별에서 지구로 보내는 빛의 전체 양은 첫 번째 껍질 별이 보내는 양과 같다. 지구에서 느끼는 밤하늘의 밝기는 첫 번째 공만 생각했을 때 밝기의 2배가 된다.
공의 반지름을 계속 늘리면서 같은 생각을 반복하면 지구에서 보는 밤하늘의 밝기는 무한대가 돼야 한다. 겉보기 밝기는 거리의 제곱에 반비례해 감소하지만 겉넓이는 제곱에 비례해 증가한다. 공껍질 하나하나의 전체 밝기는 반지름, 즉 거리에 무관하게 일정하다. 우주가 무한하다면 무한히 많은 공껍질을 상상할 수 있으며 밤하늘의 밝기는 무한대가 된다.
제시문_나
시간에 따라 변위가 바뀌는 모습이 사인(sin) 또는 코사인(cos) 함수로 나타나는 진동을 단진동이라 한다. 가장 대표적인 예는 물체를 매단 상태에서 왕복 운동하는 용수철의 단진동 운동이다.
용수철의 단진동 운동을 표현하려면 운동 상태에 대해 살펴봐야 한다. 용수철을 평형 위치에서 A(진폭)만큼 잡아당긴 다음 놓을 때 평형 위치로부터 물체의 변위를 x(t)라 하면 운동 2법칙에 따라 운동 상태가 다음과 같이 표현된다.
F=ma=m d2x/dt2 = -kx
(-)부호는 복원력이다. 평형 위치로부터 변위 방향과 반대 방향으로 복원력이 작용하면 단진동 운동이 이뤄진다. 식은 다음과 같이 정리된다.
d2x/ dt2= -k/m x= -ω2x
x(t)의 이계도함수가 원래 함수의 음의 값에 비례하는 대표적인 함수는 사인과 코사인 함수다. 시간에 따른 용수철의 변위는 x(t)=Asin(ωt+a)로 표현되며 이때 ω=√k/m 이고 주기 T=dπ/ω이다. ω는 원운동의 각속도에 해당하며 원운동이 이뤄지는 평면에 대해 특정 각도에서 원운동을 보았을 때 운동 상태로 해석된다.
Q
1) 구껍질에만 질량이 존재하고 내부는 비어있는 가상의 행성이 존재할 때 행성 내부에 중력이 작용하지 않음을 설명하라.2) 반지름이 Re인 지구의 밀도가 일정하다고 가정한다. 지구 중심에서 x(0 ≤ x ≤Re)만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체가 지구로부터 받는 중력에 대해 설명하라. (단 만유인력 상수는 G, 지구 질량은 Me이다.)
3) 지구 중심을 관통해 지구 반대편까지 뚫린 터널이 있다. 이 터널에 물체를 떨어뜨렸을 때 운동 상태를 제시문을 참고해 설명하라. (단 마찰은 무시한다.)
전문가 클리닉
1) 논제 형태로 주어지기보다 제시문을 통해 제시될 가능성이 높은 문제입니다. 풀이 방법을 떠올리는 일이 쉽지 않은 문제이지만 어려운 내용은 아니므로 배운다는 생각으로 정리해 봅시다.
2) “설명하라”는 질문을 그대로 받아들이면 안 됩니다. 논제와 조건의 특성상 수식으로 풀이가 가능한 문제입니다. 출제의도를 파악하고 출제자가 원하는 형태로 풀어야 합니다. 논제 1의 결과를 이용해 지구 내부의 중력을 수리적으로 분석하는 것이 풀이의 핵심입니다. 지구 내부로 갈수록 중력은 감소합니다.
3) 제시문을 이해한 뒤 내용을 활용해 논제 결과를 추론하는 문제입니다. 제시문 교과 내용을 벗어나는 만큼 추론해 풀어야 합니다.
2) 논제 1의 결과에 의해 반지름이 Re인 지구의 중심 O에서 x(단 x≤Re)만큼 떨어진 곳에서 이보다 멀리 떨어져 있는 지구 구성물은 서로 균형을 이루기 때문에 중력에 영향을 미치지 못한다. 지구 중심에서 x만큼 떨어진 곳에 존재하는 질량 m인 물체에 작용하는 중력에 영향을 미치는 지구 구성물은 반지름이 x인 구 내부에 한정된다. 다음 그림을 참고해 생각한다.
>>생각해 보기
가장 대표적인 단진동 운동인 단진자에 대해 정리해보자. 길이가 L이고 무게가 없는 실에 질량이 m인 추를 매달고 작은 각도 θ로 흔들면 단진동 운동을 하는 단진자가 된다. 질량 m인 물체가 궤도를 따라 이동한 지점에서 변위는 x다. 운동 궤도 방향으로 작용하는 힘은 mgsinθ이고 이때 운동방정식은 다음과 같다. >>심화자료_올버스 패러독스
제시문 (가)에 언급된 사실은 과학사적으로 유명한 이야기로 19세기 과학자 하인리히 올버스의 이름을 따서 ‘올버스 패러독스’라고 불린다. 올버스의 논리는 다음 3가지 전제에서 출발한다.
① 우주는 무한하다.
② 별의 분포 밀도는 일정하다.
③ 별의 밝기(절대광도)는 모두 일정하다.
관찰자인 지구에서 r만큼 떨어져 있고 일정한 두께 △r을 가진 구껍질을 가정하자. 모든 별의 밝기가 일정하기 때문에 구껍질의 절대광도는 껍질에 포함된 별의 개수에 비례한다. 별의 분포 밀도가 일정하므로 구껍질의 절대광도는 부피에 비례한다. △r≪r이면 구의 표면적에 두께를 곱해 근사적으로 구껍질의 부피 4πr2△r를 구할 수 있다.구껍질의 광도 =(별의 개수)∝(구껍질의 부피)
=4πr2△r∝r2
지구에서 관찰되는 구껍질의 밝기는 광원에서 나온 빛이 공간에 퍼지는 형태에 따라 에 비례한다.
구껍질의 밝기
=(구껍질의 광도)×1/r2∝ r2×1/r2∝ 일정
주어진 전제 하에서 구껍질의 관찰되는 밝기는 거리 r과 무관하다. 그러므로 어떤 거리에 있는 구껍질을 잡아도 두께만 일정하면 지구에서 관찰되는 밝기가 일정하다. 조건 ①에 의해 우주는 무한하므로 지구에서 관찰되는 구껍질의 개수는 무한대이며 밝기의 총합도 무한대가 된다. 하지만 이론과 달리 현실의 밤하늘은 그다지 밝지 않다. 여기서 패러독스가 발생한다.
올버스는 “우주 공간에는 먼 곳에서 오는 빛을 흡수하는 암흑성 물질이 존재한다. 암흑성 물질이 존재하므로 지구에 오는 빛의 양은 유한하다”라는 방법으로 이 문제를 해결하려 했다. 그러나 빛을 흡수하는 항성 사이의 물질도 결국 흡수한 에너지에 의해 가열되고 다시 빛에너지를 방출해야 하기 때문에 패러독스는 해결되지 않는다.
보통 이 패러독스는 우주의 유한성으로 설명된다. 우주의 나이가 존재하고 빛의 속도가 유한하기 때문에 실제 우주의 무한 여부를 떠나 우리가 볼 수 있는 우주는 유한하다. 그로 인해 밤하늘의 밝기는 유한값을 갖는다.
