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노량진 메가스터디 수리논술단과 대표 강사이며 오승준 수리논술팀 연구실장으로 메가스터디 온라인 강사로도 활동하고 있다. 올해부터는 로스쿨 대비를 위한 법학적성시험(LEET)에서 추리논증을 가르치고 있으며 수리뿐 아니라 논리학의 재미에 빠져 그 영역을 넓히고 있다.

여러 가지 문제를 해결하면서 특이적분과 감마함수의 개념을 익혀봅시다.

Q_1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.



전문가 클리닉
이 문제는 고교 교육과정 밖의 내용을 제시문에 담고 있습니다. 하지만 제시문을 정확히 이해하이 문제는 고교 교육과정 밖의 내용을 제시문에 담고 있습니다. 하지만 제시문을 정확히 이해하고 제시된 사실을 바탕으로 앞 논제부터 차근차근 해결해 나간다면 쉽게 풀 수 있습니다. 주의할 점은 뒤 논제를 풀 때 앞 논제의 결과를 이용할 수 있는지 없는지에 대한 판단을 정확히 해야 한다는 점입니다. 특정 논제의 결과를 이용하라는 지시사항이 없을 때 함부로 앞의 결과를 이용하면 스스로 함정에 빠지게 됩니다.

Г(n)을 차례곱함수로 나타내면 Г(n)=(n-1)!이다. 앞의 결과 Г(x+1)=xГ(x)를 이용해 설명할 수 있다. 식의 x에 1부터 대입하면 논제 1에서 구한 바에 따라 Г(1)=1이므로
Г(2)=1·Г(1)=1
Г(3)=2·Г(2)=2·1·Г(1)=2
Г(4)=3·Г(3)=3·2·Г(2)=3·2·1·Г(1)=6
Г(5)=4·Г(4)=4·3·Г(3)=4·3·2·Г(2)
=4·3·2·1·Г(1)=24
이 성립한다. 따라서
Г(n)=(n-1)Г(n-1)
=(n-1)·(n-2)…2·1·Г(1)=(n-1)!
이다. 수학적 귀납법으로 증명하면 자연수 n에 대한 명제 Г(n)=(n-1)!는 n=1일 때 Г(1)=0!
=1이므로 성립한다. 그리고 n=k일 때 Г(k-1)라고 가정하면 Г(k+1)=kГ(k)이므로 Г(k+1)
=kГ(k)=k·(k-1)!=k! 이 돼 Г(n)=(n-1)!는 참이다.



Q_2
다음 글을 읽고 물음에 답하라.

(가) 유체 내부의 특정한 위치에 작용되는 압력은 힘의 면적에 대한 비로 정의된다. 즉 압력은 단위면적(1m²)당 힘이다. 유체의 압력 크기는 깊이에 의해서만 결정된다. 밀도 ρ인 유체 속의 깊이 h에서 판이 받는 압력은 ρgh(단 g는 중력가속도)이고 힘의 방향은 물체의 표면에 항상 수직이다.

(나) 만약 어떤 유체가 통 안에 정지해 있다면 유체의 모든 부분은 정적 평형상태에 있다. 또 같은 깊이에 있는 모든 유체는 같은 압력을 받는다. 만약 그렇지 않다면 유체의 그 부분이 평형상태라고 볼 수 없다.

댐을 설계할 때는 댐이 받을 힘을 계산해야 한다. 그림과 같은 사다리꼴 모양의 댐에서 수위가 댐의 꼭대기로부터 4m일 때 수압으로 인해 댐에 가해지는 힘을 구하라. (단 물의 밀도는 1000kg/m³ , g=9.8m/s², 압력의 SI 단위는 파스칼[N/m²]이다.)