수학을 좀더 쉽게 공부하는 방법은 없을까? 싫어졌던 수학이 다시 좋아질 수 없을까? 수학점수를 잘 받을 수 없을까? 학생이라면 누구나 가지고 있는 걱정거리다.
‘수학 기피증을 없애주는 책’은 많은 보기와 논거를 바탕으로 이런 걱정에 대한 답을 주려 하고 있다. 문제 상황을 바라보는 시각을 변화시켜 문제를 해결하는 힘을 키우는 것도 그 중의 한가지 방법이다.
“P＝a²(b－c)＋b²(c－a)＋c²(a－b)를 인수분해하라”라는 문제가 있다고 하자. 이것은 단순한 계산 문제이기 때문에 많은 학생들이 다음과 같은 순서로 푼다.
① 전개한다.
② 어느 한 문자에 대해 내림차순으로 정리한다.
③ 공통인수로 묶어낸다.
④ 인수분해를 완성한다.
이것은 쉽게 떠오르는 풀이방법이지만 계산과정이 꽤 긴 게 흠이다. 풀이과정이 길다보니 잘못 풀 경우도 많다. 여기서 생각을 조금 바꿔보자. 위 식을 보면 금방 a, b, c가 대등하다는 것을 알 수 있다. 이 생각에서 출발하자.
주어진 문제를 a에 관한 다항식 P(a)로 보고 a에 b를 대입하면 P(b)＝b²(b－c)＋b²(c－b)＋c²(b－b)＝0 이 돼, P(a)는 (a－b)라는 인수를 갖는 것을 알 수 있다. 또 a, b, c가 대등하므로 (b－c), (c－a)도 P의 인수가 된다. 결국 P는 (a－b)(b－c)(c－a)로 나눌 수 있기 때문에 P＝k(a－b)(b－c)(c－a)으로 된다. 상수 k값을 구하려면 원식과 인수분해한 식에 a＝1, b＝0, c＝－1을 대입해 보면 금방 알 수 있다(a, b, c는 아무 숫자나 대입해도 된다). k＝－1이다. 따라서 P＝－(a－b)(b－c)(c－a)가 된다.
이 풀이의 첫 실마리는 a, b, c가 대등하다는 것으로 바로 눈에 띄는 매우 중요한 정보다. 이 정보를 활용하면 빠르고 정확하게 문제를 풀 수 있다. 다음 문제를 더 살펴보자.
(a＋b＋c)²＋(b＋c－a)²＋(c＋a－b)²＋(a＋b－c)²을 간단히 하는 문제도 이 식에서 a, b, c가 대등하므로 a에 대해서만 계산해 보면 된다. a²의 항은 4a²이고 a의 항은 0이다. 곧 a를 포함하는 항은 4a²뿐이다. 마찬가지로 b, c를 갖는 항은 각각 4b², 4c²뿐이다. 따라서 주어진 식은 4(a²＋b²＋c²)이다.
이런 문제를 막무가내로 계산을 되풀이하다 보면 언젠가 정답에 이를 것이라고 생각하는 사람이 많다. 이런 사람들은 복잡한 문제가 나오면 무작정 계산만 하다가 정답 근처에도 가보지 못하고 포기해 버린다. 이것이 수학을 멀리하게 되는 까닭의 하나이다.
