d라이브러리

오는 11월 13일은 대학수학능력시험이 치러지는 날이다. 4백점 중 80점에 해당하는 수학은 당연 부담이 큰 과목이다. 어떻게 하면 점수를 올릴 수 있을까. 수학공부원리와 그 비법을 공개한다.

표현력 문제가 늘어날 전망

올 대학수학능력시험이 이제 50여일앞으로 다가왔다. 지금까지 실시됏던 시험에서는 시간이 모자라고, 추측에 의한 답이 많고, 성적이 낮은 쪽으로 치우쳐 있다는 평가가 있었다. 그래서 올해는 난이도는 작년과 같거나 조금 쉽게, 추론 영역은 약간 축소될 전망이다. 또 문제해결 영역은 문장형 문제를 식으로 바꾸어 표현하는 문제나 제시된 수식이 나타내는 바가 무엇인지를 묻는 문제 등 표현력을 알아보는 문제가 작년보다 많이 등장할 것으로 보인다.

그 이유는 약간의 노력만 기울이면 답에 접근할 수 있고, 복잡한 계산에 따른 시간 소비나 실수를 막기 위함이다. 본고사에서 답은 틀리더라도 식이 맞으면 부분점수를 얻는 것과 같은 효과를 낼 수 있기 때문이다. 표현력에 관한 문제 가운데 이미 출제되었던 문제를 소개하면 다음과 같다.

예1_식을 일상적인 언어로 표현하는 능력을 묻는 유형
 

1. 그림과 같은 자동차 경주 코스를 두 자동차 A, B가 같은 방향으로 돌고 있다. 자동차 A, B의 속력은 각각 a km/분 과 bkm/분이고, 경주 코스 한 바퀴의 길이는 c km이다.3a-3b=2c가 성립한다고 할 때, 다음 중 옳은 것은?(96 대학수학능력시험)

①2분마다 A는 B보다 두 바퀴 더 돈다.
②2분마다 B는 A보다 한 바퀴 더 돈다.
③3분마다 B는 A보다 세 바퀴 더 돈다.
④3분마다 A는 B보다 두 바퀴 더 돈다.
⑤3분마다 A는 B보다 세 바퀴 더 돈다.

예2_실생활에서 제기될 수 있는 내용을 식으로 표현하는 유형

2. 어느 회사원의 연간 소득은 Y원이다. 이 소득의 a%에 대해서는 세금이 부과되지 않고, 그 나머지 소득에 대해서만 b%의 세금이 부과된다. 이 사람은 세금을 납부하고 난 후의 소득 중 C원을 소비하고 나머지는 모두 저축한다. 이 사람의 연간 저축액 S원은?(95 대학수학능력시험)
 

그러면 앞으로 남은 기간동안 수험생들은 어떻게 대비하면 좋을까? 문젤르 많이 풀어보는 것이 좋을까? 문제집은 어떤 것을 선택해야 할까? 필자의 생각을 적어보면 이렇다.

교과서를 세번 정독하자

절대값의 의미가 무엇인가 물어보면 대부분은 ｜3｜=3, ｜-3｜=3인 줄은 알면서도 그 의미가 무엇인지를 정확하게 말하는 학생은 드물다. 교과서에는 엄연히 "수직선 위의 점 P의 좌표가 a일때, ｜a｜는 점 P와 원점 사이의 거리이다"고 쓰여있다.

교과서를 보라고 하면 더러는 교과서 문제가 쉽다느니, 응용문제가 별로 없다느니 한다. 물론 그럴지 모른다. 그러나 지금 교과서를 보라는 뜻은 사소한 응용문제 몇개에 연연하라는 것이 아니라 자기 나름대로의 개념정리를 할 기회를 가지라는 뜻이다. 이제 와서 교과서 문제를 풀라는 말은 아니다. 교과서에 실린 개념과 원리에 대한 설명, 증명과정, 또 그래프에 관한 것 등을 꼼꼼히 음미할 것을 당부한다.

90년 말에 우리반 학생 가운데 이 말을 귀담아 들은 학생이 있었다. 그 학생은 아침에 등교하면 수업이 시작되기 전 30분동안 책상 위에 수학교과서만 펴놓은채 읽고 있었다. 먼 발치에서 보면 재미있는 소설 책을 읽는 듯 했다. 그 후 이 학생은 모대학에 진학해 4년 장학생으로 학업으 마친 뒤 이제는 어엿한 사회인이 됐다.

교과서를 들고 문제는 손대지 말고 개념과 원리에 대한 설명만을 자세히 쭉 읽어보자. 처음부터 끝까지 세번만 읽고 나면 수학에 대한 자기 나름의 무언가가 세워질 것이다.

어떤 일로 모교에 교수님을 찾아 간 일이 있었다. 근황을 여쭈었더니 요즈음 교과서를 쓰느라 바빴다고 하셨다. 정년을 앞두신 선생님의 정열이 필자의 몸에 확 느껴졌다. 부디 교과서를 쓴 저자의 숨겨로가 열정을 구석구석에서 찾아 느꼈으면 하는 바람이다.

기출문제를 분석하자

본고사를 치르고 서울의대에 들어간 학생이 입시를 준비하던 책을 나중에 우연히 본 적이 있다. 그 책은 과거 학력고사 기출문제집이었다. 그 책을 넘기면서 나는 인상깊은 메모들을 볼 수 있었다. 문제 하나하나마다 자기 나름의 분석을 간단히 메모해 둔 것이었다, 역시 들어갈 자격이 있구나 하는 생각이 들었다.

수학능력시험 문제가 우리에게 주는 공포감은 무엇인가? 그것은 바로 문제속에 감춰진 수학적 아이디어를 찾지 못할까봐 하는 두려움이다. 몇년 전에 미국수학협회에서 고등학생을 대상으로 실시하는 초보적인 경시대회 문제집을 접한 적이 있다. 그 경시대회 문제집의 서문을 읽던 중 흥미로운 대목을 발견했다. "이 시험에서 고득점을 얻으려면 지금까지 출제되었던 문제들을 반복해서 풀어보라" 고 충고하고 있었다. 이것은 무슨 의미일까? 문제의 생김새는 달라도 아이디어는 같다는 애기다. 그만큼 고교수학의 범위에서 끌어낼 수 있는 수학적 아이디어는 한정되어 있다는 의미가 아닐까?

기출문제를 분석해서 출제자의 의도가 무엇인지 또 어떤 내용이 수학문제의 대상이 되는지 정리해 보자. 개념이나 원리를 안다고 해서 문제가 술술 풀리는 것은 아니다. 수학적인 아이디어를 풍부하게 충적해야 처음보는 문제도 직관이 떠오를 수 있다. 기출문제들은 바로 수학적 아이디어를 풍부하게 축적해야 처음 보는 문제도 직관이 떠오를 수 있다. 기출문제들은 바로 수학적 아이디어의 바다다. 4차례의 수학능력시험과 7차례의 실험평가 문제, 그리고 여력이 있으면 90년까지의 전후기 학력고사 문제도 참고해주었으면 한다. 아래에 수학적 아이디어가 반복해서 출제된 예를 몇가지만 들어보겠다.

예3_합성함수의 그래프

3. 실수 전체에서 정의된 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다.
 

g(x)=sinx일때 합성함수 y=(g∘f)(x)의 그래프의 개형은?(96 대학수학능력시험)
 

4.폐구간[0,1]에서 정의된 함수
 

에 대하여 f와 그 자신과의 합성함수를 h라고 하자. 다시 말해서 h=f∘f이다, 집합 A={x∈[0,1]|$\frac{1}{3}$≦h(x)≦$\frac{2}{3}$}라고 할 때, A를 이루는(1)구간의 개수와 (2)구간의 길이의 합을 순서대로 쓰라.(91 전기학력고사)

예4_f(x)와 y=f'(x)의 그래프는 y=x에 대해 대칭인 성질

5. 함수 f(x)=>;$\frac{{x}^{2}}{4}$+a(x≧0)의 역함수를 g(x)라고 할 때, f(x)=g(x)가 음이 아닌 서로 다른 두실근을 가질 실수a의 값의 범위는?(96 대학수학능력시험)

①a≧0
②0≦a<;1
③0④a<;2
⑤a<;1

6. 두 곡선 y=$\sqrt{x+3}$과 x=$\sqrt{2y+3}$의 교점을 (a,b)라 할 때 a+b의 값은?(92 후기 학력고사)

①6
②7
③8
④9

예5_수선의 길이가 삼각형의 넓이를 구할 때 높이가 됨

7. 좌표평면 위의 세점 A(0,2), B(-1,0), C(1,0)으로 이루어지는 △ABC의 내부 또는 변 위의 점 P에서 변 AB, BC, CA까지의 거리를 각각 a,b,c라고 하자. 4b=${(5+a)}^{2}$일때, 점 P의 자취는?(96 대학수학능력시험)

①x축에 평행인 선분
②y축에 평행인 선분
③포물선의 일부인 곡선
④원의 일부인 곡선
⑤한 점

8. 높이가 h인 정삼각형의 내부의 한 점 P에서 세 변에 이르는 거리의 합을 1이라고 할 때, 다음 중 옳은 것은?(2차 실험평가)

①1=h
②1③1>;h
④1=$\frac{1}{2}$h
⑤1=2h

모의고사에서 틀린 답을 다시 확인하자

대부분의 학생들은 수학문제를 처음부터 잘 풀어서 맞기를 바라는 모양이다. 그러나 필자의 생각은 다르다. 평소에 건강을 자신하는 사람보다 아픈 적이 있던 사람이 건강에 대해 더욱 유의하는 법이다. 또 나쁜 전염병에 걸리지 않기 위해 예방주사를 맞는 것처럼 자기가 이미 틀린 적이 있는 문제를 소홀히 다루어서는 안 될 것이다. 그 문제들이야 말로 자기 자신이 만들어 놓은 수학의 예방주사가 아닐까?

내가 틀렷던 것들을 전부 끄집어내자. 채점이 끝나자마자 책상속에 쑤셔넣었던 지난 문제들을 전부 찾아내자. 내가 틀린 문제가 무엇인지, 왜 틀렸는지, 나는 왜 풀이를 생각해내지 못했는지, 왜 엉뚱한 방향으로 풀려고 했는지.어처구니 없는 계산실수는 왜 일어났는지 다시 살펴보자.

자신의 명예를 걸고 한번 틀렸던 문제는 다시는 반복하지 않도록 최선을 다하길 바란다. 필자의 충고에 혹 이런 생각이 들지는 않는가? "틀렸던 문제를 전부 소화하기에는 제 능력으로는 역부족입니다. 선생님은 제게 너무 무리한 요구를 하시는게 아닌가요?"

필자가 수험생일 때 시험이 끝나고 틀린것을 다시 확인하면서 늘 이런 생각을 했다. "더 이상 새로운 것을 알려고 하지 말자. 지금 내가 알고있는 것 만이라도 나 맞자. 그러면 성적이 이렇게 나오지는 않을 것이다."

알면서도 그것을 점수로 바꾸지 못하는 것 만큼 억울한 일이 세상 어디에 또 있겠는가? 그래서 그 다음부터는 많은 것을 알려고 애쓰기보다 아는 것과 모르는 것을 분명히 하기로 했다. 아는 것은 어떤 형태로 바꾸어 내더라도 꼭 풀 수 있도록 반복했다. 이해하지 못하는 부분은 시험에 출제되지 않기만을 바라면서 과감하게 버렸다. 내가 무엇을 모르는지를 분명하게 해두는 것도 실력이라면 실력인 것이다. 그러면서도 마음 속에 스스로 격려한 말은 최선을 다했다는 것 그것뿐이다. 하늘도 나를 외면하지는 않겠지하는 마음으로.

시험이란? 점수란?

요즘 서점가에는 학습법에 관한 책이 베스트셀러라고 한다. 학습법은 참 중요하다. 그러나 많은 학생들이 어떻게 공부할까에는 관심이 많으면서도 어떻게 시험칠까에 대해서는 너무 무관심하다.

필자는 여러 해 동안 학습량과 점수가 꼭 정비례하지는 않는다는 사례를 목격해 왔다. 문제를 풀어 득점하는 일은 공부를 많이 하는 일과는 다른 듯 하다. 즉 점수란 공부만 많이하면 저저로 얻어지는 것이 아니라. 제한된 시간에 긴장된 분위기에서 쟁취해야 하는것이다. 그래서 필자는 시험을 늘 출제자와의 싸움, 시간과의 싸움, 자기자신과의 싸움이라고 생각한다. 그런 싸움에는 분명 그에 상응하는 전략과전술이 있어야만 목적을 달성할 수 있다고 본다.

문제지를 받으면 처음부터 끝까지 정독하자

모의고사 다음날이면 울상이 되는 학생들이 있다. 그중에는 집에가서 채점을 하고 답을 보니까 뒷면에 풀 수 있는 쉬운 문제가 많았단다. 그런데 자기는 앞에서부터 풀어내려오다가 중간에 막히는 문제가 하나잇어 시간을 다보냈다면서 끝내 울음을 참지 못했다. 그 뒷부분은 다 찍었던 것이다.

시험감독에 들어가 보면 대개 학생들은 시험지를 받지마자 1번부터 푸느라 급급하다. 1백m달리기 시합을 구경온 듯 하다. 그때마다 "다음 문제를 번호순으로 빨리 푸시오라고 쓰여있냐"고 핀잔을 주곤 했다. 그렇다 문제풀이는 1백m달리기가 아니다. 출제자와 나 사이에 벌이는 숨바꼭질이다.

문제지를 받으면 약 5-10분동안 처음부터 끝까지 찬찬히 읽어내려가기를 바란다. 읽어내려가면서 문제번호에 자기나름의 난이도를 ○, △, ×등으로 표시하라. 또 떠오르는 풀이방법이나 관련된 공식등이 있으면 옆에 간단히 메모해 두라. 그런다음 ○, △, ×표시된 순서대로 풀어나간다. 꼭 번호순으로 풀 필요는 없다.

이런 일도 평소에 연습해두어야 한다. 왜냐하면 시간은 흐르고 옆 사람은 정신없이 문제를 풀고 있는데 자기만 풀지 않고 들여다보고 있으면 초조해지기 쉽기 때문이다. 그렇지만 집중만 할 수 있으면 당신이 주도권을 쥘 수 있다. 경험에 따르면 이쪽이 훨씬 시간도 적게 소모된다. 참 신기한 일이다. 역시 전체를 파악하는 일은 부분을 보는 일보다 우선하는가보다.

착상이 떠오르지 않는 문제는 넘어가자

처음 보는 문제를 단번에 풀어낼 능력을 가진 사람은 그리 흔하지 않다. 문제는 여러번 읽어야 그 뜻을 파악할 수있다. 한번에 알아차릴 수 있는 문제를 여러분들에게 묻겠는가? 몇 문제를 제외하고 그런 문제는 없다고 생각해야 한다. 착상이 떠오르지 않으면 넘어가라. 넘어갈 줄 아는 것이 중요하다.

필자는 수학을 공부할 때 거의 답을 먼저 보지 않았다. 못푸는 문제는 계속 넘어가고 며칠 후 또 그문제를 봐서 모르면 보류해두곤 했다. 그러기를 몇차례 하면 신기하게도 풀이가 떠올랐다. 그때의 감격은 우리학교 야구부가 전국대회결승에 나가는 것보다 더 기뻤다. 그렇지만 풀지 못한 문제들은 항복을 선언하고 답을 보았다. 그럴때마다 "나는 왜 이런 생각을 못했을까?"하는 반성이 송곳에 찔리는 듯한 느낌으로 다가왔다.

착상이 떠오르지 않으며 넘어가라. 다 넘어갔으면 반복해서 문제를 읽어보라. 이유를 댈 수 없지만 신기하게도 풀이가 떠오르는 것들이 생긴다. 그러다 보면 이것저것 막 풀린다. 그런 초조해 하지말고 침착하게 문제를 반복해서 읽어보라. 경험에 따르면 한 문제를 그 자리에서 세번 읽는것보다는 막힌 문제들을 전체적으로 세번 읽는 것이 더욱 효과가 있었다.

문제의 끝을 보자

문제 뜻을 모르겠다는 학생이 많다. 그런데 답을 보면 또 알겠다고 한다. 이것은 참 이상한 일이다. 어찌 이런 일이 생길 수 있을까 싶겠지만 실제로 허다한 일이다. 이런 학생들은 노력만큼 성적이 나오지 않아 답답해한다. 왜그럴까?

이들의 대부분은 문제를 보는 습관이 나쁘다. 문제의 처음은 보지만 문제의 끝은 주의깊게 살피지 않는다. 궁극적으로 묻는 것이 무엇인지를 잘 파악하지 못한다. 그저 외우고 있는 공식에 수를 넣어 나온 답을 찾는다. 그래서 공식이 잘 들어맞으면 풀고 그렇지 않으면 못푼다.

문제를 거꾸로 보라. 무엇을 묻고 있는지 문제의 끝을 유심히 보라. 그것을 해결하려면 어떤 내용이 필요하며 문제의 조건 속에 그 내용이 어떻게 숨어있는지, 또 그 내용과 관련해서 내가 알고있는 지식은 무엇인지 생각해보라. 조건으로부터 풀어내려면 풀릴 것인가. 아니면 어떤 미지수를 놓고 식을 세워야 하는가 판단해보라. 식을 세우려면 어떤 구조를 가져야 하는지 우리말로 틀을 잡아보라. 최소한 마지막에 묻고 있는 것이 무엇인지를 꼭 살펴보라.

지금까지 열심히 한다고 했는데 성적이 나오지 않아서 고민에 빠져있지나 않은지 모르겠다. 발등에 불이 떨어져 수학공부를 소홀히 하지는 않을지 걱정이다. 아직 성적이 나오지 않는 것은 어쩌면 당연한 것인지도 모른다. 학교수업에 따라가랴, 시험에 쫓기랴, 정신없이 내몰려오면서 쌓은 실력이니 제대로 정리나 됐겠는가? 그런 상태에서 치른 시험이니 만큼 성적에 연연해 할 필요가 없다.

필자는 학생들이 마치 포크레인으로 갈아 엎은 야산과 같은 모습으로 보인다. 뒤죽박죽 엉망진창의 모습말이다. 그런 상태에 있는 땅에 씨를 뿌린들 무슨 큰 수확을 기대할 수 있겠는가? 갈아 엎은 야산을 깔끔히 정리하고 골도 파고 씨뿌릴 둑도 만들어야 좋은 수확을 기대할 수 있지 않을까? 지금까지 성적이 미흡한 것은 그래서 당연한 일인지도 모른다.

교과서 내용을 정독하는 일이야 말로 여러분의 뒤죽박죽 야산을 좋은 밭으로 만들어 줄 것이다. 기출문제를 분석하고 오답을 확인하는 일은 고랑도 내고 여기 저기 둑도 쌓는 일이 아닐까?

또한 시험문제를 잘 푸는 일은 그 나름대로 준비와 연습이 필요하다. 어느것 하나 아침에 이루어질 수 없지만 서둘러서 될 일도 하나 없는 듯 하다. 어디에 처박혀 있는지도 모를 교과서를 꺼내주기 바란다. 고교수학의 진리는 교과서 속에 담겨있다.