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“수학이 가득한 거울 나라에 온 걸 환영해! 난 거울 나라의 붉은 여왕이야.” 앨리슨은 의아했어요. “거울에 수학이 있다고요?” 앨리슨의 대답에 화가 난 붉은 여왕의 얼굴이 커다랗게 부풀어 올랐어요. “거울에 네 모습이 비치는 게 수학이 아니고 뭐야?” 여왕이 소리쳤어요.

그가 들고 있던 봉을 휘두르자 앨리슨 주위의 거울이 하나만 남고 모두 사라졌어요.

거울의 반사엔 각도가 숨어있지!

거울은 빛을 반사하는 성질을 가지고 있어요. 반사란 빛이 앞으로 나아가다가 다른 물체의 표면에 부딪히면서 반대 방향으로 나아가는 거예요.

사람의 눈은 빛을 통해 물체를 봐요. 거울에 비치는 물체도 마찬가지예요. 실제 물체에서 나온 빛이 거울에 닿으면 거울 표면에서 반사돼 우리 눈으로 들어와요. 사람의 뇌는 빛이 앞으로만 나간다고 생각하기 때문에 거울 안의 물체에서 빛이 나온다고 착각해요. 하지만 거울에 보이는 물체는 실제 물체가 반사된 것일 뿐이지요. 그래서 거울에 비친 물체의 모습을 허상이라고 부르는 거예요.

거울을 기준으로 두 앨리슨은 대칭 관계!

거울을 바라보는 앨리슨과 거울에 비친 앨리슨은 똑같이 생겼어요. 거울을 기준으로 서 있는 곳까지의 거리도 같지요. 이렇게 기준이 되는 점이나 선 또는 면을 사이에 두고 같은 거리에서 마주 보고 있는 걸 ‘대칭’이라고 해요.

선대칭 도형은 기준이 되는 선을 따라 반으로 접었을 때 완전히 겹치는 도형을 말해요. 점대칭 도형은 기준이 되는 점을 중심으로돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹치는 도형이지요.

대칭은 두 개의 도형 사이의 관계로 설명하기도 해요. 앨리슨과 거울에 비친 앨리슨은 거울이라는 하나의 평면을 사이에 두고 ‘면대칭*관계’에  있다고 할 수 있지요.

대칭! 왜 알아야 할까?

겨울에 내리는 눈의 결정을 비롯해 나비의 날개, 꽃잎의 배열 등 자연 곳곳에서 대칭을 찾을 수 있어요. 김종락 서강대학교 수학과 교수는 “대칭은 자연을 이해하는 방식이자 수학의 기초”라며, “사람이 대칭 구조를 보면 편안함을 느끼듯이 대칭은 수학적으로 안정적인 성질을 갖고 있다”고 말했어요. 오용근 포항공과대학교 수학과 교수는 “수학에서의 거울 대칭은 어려운 문제를 푸는 실마리를 제공한다”고 설명했어요. 수학자들은 어려운 문제를 만났을 때 그 문제와 비슷하면서도 더 쉬운 문제로 바꿔서 풀어보지요. 하나의 관점에서 봤을 땐 어려운 문제도 다른 관점에서 보면 쉬운 문제일 수 있거든요. 이를 ‘거울 대칭성’이라고 해요.

▲ PDF에서 고화질로 확인할 수 있습니다. 

* 용어설명 

면대칭 :  면이 기준이 되는 대칭이에요. 기준이 되는 면을 따라 반으로 나눌 때 완전히 똑같이 나뉘면 면대칭 도형이라고 할 수 있지요. 면대칭 관계는 기준이 되는 면으로부터 같은 거리에 있는 두 물체가 완벽히 똑같은 모양인 경우를 말해요.