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드디어 우리 제이가 본격적으로 신의 증명을 찾아 나서네요. 제이는 신의 구름이 데려간 야구장에서 친구 오도시와 최이룸을 만나 치킨 떡볶이 세트를 먹어요. 그런데 이룸이가 음식을 사기 위해 낸 돈을 계산하다가 이상한 점을 발견합니다. 

 

 

 순간적으로 헷갈릴 수 있는 문제예요. 3명의 순지출은 2만 7,000원이에요. 지출1 - 수입1 + 지출2를 계산하면 구할 수 있어요. 그런데 이룸이는 이 순지출 2만 7,000원에다가 지출2인 2,000원을 더해서 총 2만 9,000원을 썼다고 생각해요. 얼마를 썼는지 계산하다가 무의식적으로 순지출과 생수 값을 더한 거예요. 그러니 처음에 낸 돈 3만 원과 비교해 1,000원이 남는다고 이야기하지요. 

 

 하지만 곰곰이 생각해보면, 순지출 2만 7,000원에 이미 지출2의 생수 값 2,000원이 반영됐다는 점을 알 수 있어요.  

 

 이번 사례는 우리가 평소 자주 할 수 있는 실수예요. 무의식적으로 어떤 계산을 실수하게 되는 경우가 있는데, 찬찬히 살펴보면 오류일 때가 있거든요. 제이와 친구들의 경우 액수가 적어 큰 문제가 발생하지 않았지만, 액수가 크고 중요한 계산일 경우 오류가 발생하면 치명적일 수 있어요. 하지만 수학을 통해 꼼꼼히 논리적으로 생각하는 습관을 가지면 이런 오류를 줄이고 정확한 답을 구할 수 있습니다. 

 

수학 문제를 논리적으로 생각한다고 해서 언제나 답이 딱딱 나오는 건 아니에요. 파티에서 오도시와 제이가 풀려고 하는 문제도 그중 하나이지요. ‘파티를 열 때, 최소 몇 명을 초대하면 서로 모두 아는 k명이나 서로 모두 모르는 사람 t명이 항상 존재할 수 있을까’ 하는 문제인데요. 그 최솟값을 ‘램지 수’라고 해요.

 

 램지 수를 조금 더 자세히 알아볼게요. 1928년 영국의 수학자 프랭크 램지는 사람이 충분히 많다면 그중 서로 모두 아는 관계인 k명 혹은 서로 전혀 모르는 관계인 t명이 반드시 있다는 ‘램지의 정리’를 발표했습니다. 이때 A와 B가 아는 사람이려면 A가 B를 알면서 B도 A를 알아야 합니다. 이를 만족하는 최소의 정수 N을 램지 수라고 해요. R(k, t) = N으로 나타내죠. 램지 수는 1947년 헝가리의 수학자 에르되시 팔과 호주 수학자 세케레시 죄르지가 정의했어요.

 

 서로 아는 지 여부를 다루는 문제이니 많은 수학자가 k와 t가 2이상일 때를 생각했고 R(2, t) = t는 쉽게 증명됐어요. 그래서 일찍부터 R(3, t)가 어떤 값을 가지는지에 대해 많은 연구가 이뤄졌어요. 

 

 

수십년이 지난 1990년대 중반에 제가 R(3, t)는 함수  t²/logt와 크기가 비슷하다는 것을 밝혔어요.  at²/logt  ≤ R(3, t) ≤  bt²/logt를 만족하게 하는 양의 상수 a, b가 존재한다고 밝힌 거예요. 이 문제는 에르되시가 250불의 상금을 건 문제라 제가 상금을 받았어요. 

 

 그 후 하한의 상수 a를 좀 더 크게 하는 연구가 이뤄지긴 했지만 아직 상한과 하한의 상수가 거의 일치하는 연구 결과는 나오지 않았으니 여러분이 연구해서 더 나은 결과를 얻을 수도 있을 거예요.

 

 만화에서는 제이와 오도시가 R(4, t)와 비슷한 크기의 함수를 찾는 장면이 나와요. 이 문제는 R(3, t) 문제보다 더 어려워서 알려진 상한과 하한의 차이가 상당히 큰 상태로 많은 세월이 지났어요. 에르되시는 R(4, t) ≥  t³/(logt)^c 를 만족하는 양의 상수 c가 존재한다는 걸 밝히는 문제에도 250불의 상금을 걸었어요. 

 

그런데 2023년 수학자 샘 마테우스와 자크 베르스트라에테가 상수 c가 4라는 걸 증명했어요. 그래서 현재까지 알려진 가장 좋은 하한과 상한은 아래와 같아요.

 

 

위 부등식의 하한보다 ‘아주 큰’ 하한을 찾거나 반대로 상한보다 ‘아주 작은’ 상한을 찾으면 아주 훌륭한 결과로 인정받을 수 있어요. 여러분도 한번 시도해 보세요. 성공하면 제가 100만 원의 상금을 드리겠습니다!