“‘수학적 엄밀함’이란 무엇인지 멘토링 때 알려주시면 좋겠어요.”
백진언 연구원에게 폴리매스 회원들의 문제 풀이를 검토 요청할 때마다 백 연구원은 수학적 엄밀함이 빠져 있어 설명하기 어려웠다고 말해 이렇게 제안했어요.
최근 슬기로운 수학생활 30, 36, 39, 40번 문제가 풀려 8월 15일 수학적 엄밀함이란 무엇인지 듣는 멘토링 시간을 마련했습니다.
1교시: 수학적 엄밀함이란?
특별히 이번 멘토링에는 문제를 해결한 회원과 함께 ‘백진언 연구원 멘토링’ 공지를 보고 참석을 희망한 회원까지 9명이 참석했어요.
1교시는 수학적 증명에 관한 강연을 듣고, 증명을 직접 해보는 시간이었어요. 강연에서 백 연구원은 수학적 증명이란 ‘참인 명제를 근거로 새로운 명제가 참 또는 거짓임을 엄밀하게 논증하는 것’, ‘논리적 사고와 이를 상대방에게 전달하는 글쓰기의 결합’이라고 정의했어요. 또 수학적 증명을 서술할 때 수학적 엄밀함을 지키는 6가지 방법이 있다고 설명했어요.
1. 연역적 논증만을 써야 합니다.
연역적 논증이란 결론이 전제로부터 나오는 논증으로, 수학적 증명은 연역적 논증의 나열이라고 할 수 있어요.
2. 각 연역에는 근거가 있어야 합니다.
우리는 수학 문제를 풀거나 설명할 때 ‘당연하다’라는 말을 많이 쓰는데요. ‘당연’하려면 그 근거가 정확해야 합니다. 항상 스스로 ‘왜?’라는 질문을 던지고, 정말 근거가 있는지 의심하고 찾아봐야 합니다.
3. 놓친 부분이 없는지 꼼꼼하게 확인하는 습관을 가져야 합니다.
4. 설명이 명확해야 합니다.
예를 들어 ‘첫 번째 점에서 시작해 점을 잇고, 그 선을 약간 기울인다’라는 설명이 있다고 할게요. 여기에서 ‘첫 번째 점’과 ‘약간 기울인다’는 표현은 명확하지 않습니다. 이를 정확하게 ‘왼쪽에서 첫번째 점’, ‘시계방향으로기울인다’ 등의 기준을 설정하고 서술해야 합니다. 여러분의 문제 풀이를 보는 사람은 여러분의 머릿속을 다 알 수 없습니다. 어떤 사람이 읽어도 자신이 의도한 의미로 해석할 수 있게 명확하게 설명하는 습관을 길러야 합니다.
5. 본인이 생각한 바가 명확해야 합니다.
명확하지 않은 개념을 사용하지 않았는지, 내 풀이에 모순이 있지 않는지 검토하는 습관이 중요해요.
6. 이해하기 쉽게 서술해야 합니다.
미지수를 설정했다면 그 미지수가 자연수인지, 무리수인지, 왜 이 미지수가 나와야 하는지 맥락을 설명해야 합니다. 또 한 문장 안에는 가능한 한 단계의 논리만 쓰는 것도 중요합니다.
2교시: 슬기로운 수학생활 문제 멘토링
2교시에는 해결된 슬기로운 수학생활 문제의 풀이를 공유하고 의견을 나누는 시간을 가졌습니다.
30번 문제를 푼 전준혁 회원은 칠판 앞에 나와 풀이의 내용을 설명했는데요. 살펴보니, 순열의 개수를 구하는 문제에서 순서와 상관없이 선택하는 경우와 순서를 고려해 선택하는 경우를 헷갈렸지만 문제를 잘 풀었습니다.
전 회원의 발표를 들은 서창환 회원은 “초등학생이 고등학교에서 배우는 순열, 조합 개념을 이용해 문제를 풀다니 대단하다”면서, “앞으로 수학 공부를 할 때 왜 이런 상황에서 이 공식과 도구를 사용해야 하는지 생각하면 도움이 될 것”이라고 전 회원에게 조언했어요. 백 연구원은 “순열과 조합이 어떤 차이가 있는지 개념서에서 자세히 설명하지 않아 틀리기 쉬운데, 전 회원도 여기서 조금 헷갈렸지만 방향을 잘 찾아갔다”면서, “서 회원의 말처럼 앞으로 개념서의 내용보다 세밀한 부분을 생각하면 큰 도움이 될 것이고, 지금도 충분히 잘 공부하고 있다”고 다독였어요.
멘토링에 참여한 회원들의 소감은 어땠을까요? 송지후 회원은 “이번 멘토링을 통해 엄밀한 증명에 관해 배울 수 있어서 정말 좋았다”며, “슬기로운 수학생활 문제는 아직 어려워서 다른 회원들의 풀이를 다 이해하지는 못했는데 전혀 생각하지 못한 아이디어로 문제를 푼 회원들을 보고 자극을 받았다”고 말했어요. 덧붙여 더 열심히 공부해서 슬기로운 수학생활 문제를 꼭 풀고 싶다고 밝혔습니다.
