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안녕하세요. UNIST 수학 동아리 ‘EOE’의 방세훈이에요. 저는 2006년 필즈상 수상자인 벤델린 베르너 스위스 취리히 연방공과대학교 교수와 관련한 문제를 준비했어요.

저는 수학, 코딩을 좋아하는 물리학과 학생이에요. 물리학과에서 확률과 통계는 ‘이해하기 어려운 현상을 이해하는 실마리’이지요. 확률과 통계가 인공지능과 코딩에서 많이 중요하듯이 물리 문제를 풀 때도 마찬가지로 유용해요. ‘무작위 행보’를 브라운 운동과 접목시킨 연구로 베르너 교수가 필즈상을 받았어요. 그 연구의 내용을 알려면 더 알아야 할 내용이 많지만, 무작위 행보를 이해하는 것부터 시작해 봐요.

과학자와 수학자가 관심있게 연구하는 주제 중 하나인 당구공의 운동과 브라운 운동의 차이는 무작위 행보의 여부예요. 브라운 운동은 당구공에 비해 그 행보가 확률적으로 나타나요. 베르너 교수는 무작위 행보를 했을 때 나타나는 기하학적 특성을 연구했어요. 무작위 행보의 예시로는 ‘술에 취한 사람이 비틀거리며 걷는 것’, ‘주식이 오르고 내리는 것’ 등이 있어요.

분석하기 가장 쉬운 무작위 행보는 다음과 같아요. 수직선 위의 한 점이 왼쪽 또는 오른쪽으로 한 칸 씩 움직이고 그 확률이 p, 1-p로 주어지면, 그 점이 n 번 움직여서 만들 수 있는 경로는 2ⁿ개예요. 그 중 처음으로부터 변화한 위치에 관한 확률분포를 그려보면 ‘이항분포’를 따르는 것을 알 수 있어요.

물론 베르너 교수를 비롯한 수학자들이 연구한 무작위 행보의 형태는 이보다 더 어려워요. 차원을 달리 하거나 지나왔던 장소는 다시 지나지 않는다는 규칙을 추가할 수도 있어요. 이런 규칙이 추가되기 전과 후는 서로 다른 기하학적 성질을 갖게 돼요.

베르너 교수는 복소해석학의 등각 변환과 확률 이론을 결합해 규칙별 무작위 행보마다 가질 기하학적 특성과 2차원 브라운 운동의 기하학적 특성을 연구했어요. 베르너 교수의 이러한 연구는 물리학에서 관심있는 주제인 ‘두 개의 상이 맞닿아 있는 물질의 경계에서 일어나는 현상’을 연구하는 데 유용하게 쓰일 수 있어요.