별 모양(☆)의 꼭짓점을 차례로 이으면 오각형을 그릴 수 있다. 만약 그려진 오각형이 모든 변의 길이가 같은 정오각형이라면 그 속에 숨겨진‘황금비’도 찾을 수 있다. 오늘은 정사각형 색종이를 이용해 정오각형을 만들고, 황금비를 이용해 작품을 만들어 보자.
피타고라스가 사랑한 정오각형
고대 그리스의 수학자 피타고라스는 기하학 분야에 많은 업적을 남겼다. 그중 하나가 정다각형과 정다면체에 관한 내용이다. 사실 정다면체에 관한 내용은‘플라톤의 정다면체’로 더 잘 알려져 있지만,워낙 기록을 남기기 싫어한 피타고라스가 플라톤보다 약 150년 전에 발견했을지도 모른다는 주장도 있다. 피타고라스가 정오각형의 매력에 흠뻑 빠진 일화가 이 주장을 뒷받침한다.
피타고라스는 정오각형의 서로 이웃하지 않는 꼭짓점을 이어 도형 내부에 생긴 별 모양에 집중했다. 그는 한 변의 길이가‘황금비’로 이뤄진 정오각형 내부의 별 모양을 이용해 정십이면체를 작도했다.정십이면체는 정오각형 12개로 이뤄진 입체도형이다.
또한 그는 별 모양 내부에 끊임없이 반복해 생기는 정오각형에 반해, 그가 속해 있던‘피타고라스 학파’의 상징으로 별 모양을 택하고 이를‘피타고라스의 별’이라 불렀다.
정오각형과 별에 그려진 선분의 길이를 위의 그림과 같이 각각 a, b, c, d라 하자. 이때 정오각형의 대각선의 길이와 한 변의 길이의 비는 일정한 값이 된다. 이 값은 약 1.618로 우리가 흔히 말하는 황금비다.
황금비는 예로부터 아름다움과 조화, 균형을 말하는 데 사용됐다. 오늘은 색종이를 이용해 직접 정오각형을 만들어보고, 그 속에 담긴 아름다운 수학적 원리를 파헤쳐 보자.
색종이로 정오각형을 만들려면?
네모반듯한 색종이를 정오각형으로 만들려면 어떻게 해야 할까? 각도기와 자를 이용해 정오각형을 그려 오려내는 방법이 아닌‘접기’를 이용하는 방법을 생각해 보자.
정오각형의 한 내각의 크기가 108°인 것을 이용하면 된다. 먼저 마주 보는 꼭짓점이 만나도록 색종이를 반으로 접어 생긴 180°를 5등분해 한쪽이 36°가 되도록 접는다. 그 다음 한 내각이 36°인 직각삼각형을 그려 한 번만 잘라주면 정오각형 완성! 백문이 불여일견, 다음 순서에 따라 색종이로 정오각형을 만들어 보자.
tip
한 내각이 36°인 직각삼각형의 또 다른 내각은 54°이고, 54°인 직각삼각형 한 내각을 두 개 모으면 108°, 즉 정오각형의 한 내각의 크기가 된다(10). 색종이로 만든 정오각형은 내각이 각각 36°, 54°, 90°인 직각삼각형 10개가 모인 것이다.
정오각형 속 황금비를 찾아라!
가로, 세로 길이가 15cm인 색종이를 이용해 앞에서 소개한 순서에 따라 정오각형을 만들자. 그 다음 아래의 그림과 같이 이웃하지 않은 꼭짓점을 모두 연결해 정오각형 내부에 생기는 별을 확인해 보자.
