삼각형은 세 변과 세 내각으로 이뤄진 도형입니다. 생김새는 가장 간단한 다각형이지만, 삼각형의 성질을 이용해 수많은 도형의 성질을 설명하곤 하죠. 그렇기 때문에 삼각형에 대한 정확한 성질과 개념은 꼼꼼히 정리해 두어야 합니다. 워낙 내용이 많기 때문에 단계적으로 잘 정리하는 게 필요하죠. 무작정 ‘n각형의 내각의 합은 180°×(n-2)로 구한다’처럼 공식을 달달 외우기보다는, 삼각형이 실제로 어디에 쓰이는지, 수학에서는 어떤 역할을 하는지부터 아는 것이 중요합니다.
삼각형 모양은 견고하고 안정적이어서 우리 주변 곳곳에서 사용됩니다. 특히 건물이나 다리를 지을 때 많이 이용되죠. 예를 들어 프랑스의 에펠탑이나 미국의 자유의 여신상과 같이 거대한 건축물의 내부에서 삼각형 구조를 발견할 수 있어요. 우리나라 한강의 다리나 놀이기구의 내부 골격 등에서도 발견 되고요. 적은 재료를 이용하여 가장 견고한 구조를 만들 수 있는 구조가 바로 삼각형이기 때문입니다.
잘 모르겠다고요? 아래와 같은 간단한 실험을 통해 이해할 수 있을 거예요.
수고를 덜어 주는 삼각형
삼각형의 성질을 적절히 활용하면 ‘가장 빠른 길’을 쉽게 찾을 수 있습니다. 다음 문제를 함께 살펴보며 이야기할게요.
문제 수동이네 가족은 2002년 생물권보전지역 지정을 시작으로 2007년 세계자연유산 등재, 2010년 세계지질공원 인증까지 유네스코 자연
과학 분야 3관왕을 달성한 제주도로 가족여행을 가기로 했다. 여행 기간 동안 제주시, 서귀포시, 성산의 세 지역을 중점적으로 관광할 예정이다. 그리고 이동거리를 줄이기 위해 세 지역으로부터 같은 거리에 있는 지점을 찾아 그 부근에 숙소를 정하기로 했다.
수동이네 가족은 숙소를 어떻게 찾아야 할까?
풀이 제주시, 서귀포시, 성산의 세 지역을 선분으로 연결하여 삼각형을 만들고, 삼각형의 세변의 수직이등분선의 교점을 찾으면 된다. 즉 ‘삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다’는 삼각형의 외심의 성질을 이용하면, 적절한 숙소 위치를 찾을 수 있다.
‘증명 문제’를 정복하라!
1학년 때 배우는 삼각형의 결정 조건이나 삼각형의 합동 조건은 학생들이 비교적 쉽게 이해합니다. 그러나 2학년 때 배우는 삼각형의 성질부터는 증명을 많이 하게 되기 때문에 학생들이 많은 부담을 갖게 되죠.
삼각형의 성질을 배우는 학생들이 가장 많이 하는 질문은 “선생님, 증명 문제도 시험에 나오나요?”입니다. 처음 접해 보는 명제의 증명에 대한 부담 때문일 것입니다. 삼각형의 성질에서는 삼각형의 합동조건을 이용하여 증명하는 내용이 많습니다. 따라서 어떤 삼각형이 합동인지, 어떤 합동조건이 적용되는지를 주의 깊게 살펴봐야 합니다.
만약 증명 문제가 시험에 나오지 않는다고 해도, 결코 소홀히 생각하지 마세요. 수학에서 자신의 생각을 체계적이고 논리적으로 설명하는 것은 매우 중요한 능력입니다. 증명 문제를 정복하고 나면 서술형·논술형 문제를 푸는 데도 도움이 될 거예요.
수학은 하루 또는 일주일 정도 열심히 공부했다고 해서, 눈에 띄게 실력이 늘지 않습니다. 적어도 몇 달은 꾸준히 공부해야, 자기도 모르는 사이 서서히 수학 실력이 향상되죠. 그렇기 때문에 수학 공부를 할 때는 너무 조급해 하지 말고, 인내심과 꼭 해낼 수 있다는 자신감을 가지고 꾸준히 노력해야 합니다. 이 때 수학에 더욱 친밀감을 가지고 탐구의 즐거움을 느끼는 것도 무척 중요하죠.
강순모 선생님의 특별 처방전!
‘아는 만큼 보인다’고 하죠? 수학은 늘 미지의 세계를 탐험하는 것처럼 가슴을 설레게 합니다. 그런데 가끔 등장하는 ‘어려운 문제’는 신나는 수학(數學) 여행을 방해하는 요소가 되곤 합니다. 이럴 땐 어떻게 해결해야 할까요?
그냥 포기할 순 없죠. 특히 삼각형의 성질을 공부할 때 자주 등장하는 증명 문제는, 학생들을 더욱 혼란스럽게 합니다. 이 때는 문제에서 증명하고자 하는 결론을 이미 구한 것으로 가정하고, 그로부터 거꾸로 증명하는 연습을 해 보세요.
중학교 과정에서 나오는 증명은 엄격한 논리의 전개보다는 이유를 조리 있게 설명할 수 있으면 됩니다. 따라서 증명을 너무 어렵게만 생각하지 말고, 결론부터 시작해 가정에 이르게 하는 ‘거꾸로 증명 방법’을 써 보세요. 또 어려운 수학 문제를 풀 때도 무엇을 구해야 하는지부터 시작하는 거꾸로 방법을 추천합니다. 수학에 자신감이 생길 거예요.
