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어두컴컴한 네더 요새에 도착했다면, 최강 보스 몬스터 ‘위더’를 잡아봅시다. 그리고 위더가 떨어뜨린 네더의 별로 신호기를 만듭시다!
미션 1. 위더 몬스터 잡고 네더의 별 구하자!
네더월드의 가장 강력한 보스 몬스터인 위더를 잡으면 네더의 별을 구할 수 있습니다. 위더는 다른 보스 몬스터와 달리 플레이어가 직접 만들 수 있어요. 위더 스켈레톤 해골 3개와 영혼 모래 4개만 있으면 되지요. 왼쪽 그림처럼 T자 형태로 영혼 모래 4개를 쌓은 뒤 그 위에 위더 스켈레톤 해골 3개를 올리면 위더가 나타나요.
<;문제 상황>; 위더 스켈레톤 해골 3개를 구하자!
해골은 위더 스켈레톤을 잡으면 구할 수 있는데, 위더 스켈레톤이 해골을 떨어뜨릴 확률이 2.5%밖에 되지 않아요. 이 말은 100마리의 위더 스켈레톤을 잡으면 해골 2.5개, 120마리를 잡으면 3개를 기대할 수 있다는 뜻이에요.
그렇다고 위더 스켈레톤 120마리를 잡는다고 반드시 3개의 해골을 얻는다는 뜻은 아니에요. 단 3마리의 위더 스켈레톤을 잡아도 해골 3개를 얻을 수 있고, 1000마리의 위더 스켈레톤을 잡아도 해골을 하나도 얻지 못할 수도 있지요. 그러면 120마리의 위더 스켈레톤을 잡았을 때 3개 이상의 해골을 얻을 확률은 얼마일까요?
<;수학으로 따지기>;
동전을 던질 때 앞면이 나올 확률을 p라고 합시다. 동전을 5번 반복해서 던지면 던질 때마다 앞면이 나올 확률은 이전 결과와 상관없이 p예요. 이를 ‘독립시행’이라고 해요. 이처럼 일정한 확률 p를 가진 독립시행을 n번 반복할 때 확률의 분포를 나타낸 것을 ‘이항분포’라고 해요. 확률이 p인 사건이 k번 발생할 확률은 nCk(p)k(1 - p)n - k로 구해요. 여기서 nCk는 n개 중에서 r개를 순서에 상관없이 고르는 조합이라는 뜻으로 n!/r!(n-r)!로 구할 수 있어요.
게임 속 상황을 예로 들어볼게요. 위더 스켈레톤들이 해골을 떨어뜨릴 확률이 0.025인 독립시행을 n번 반복할 때 해골을 k개 떨어뜨릴 확률을 식으로 정리하면 nCk(0.025)k(0.975)n - k이에요.
3개 이상의 해골을 얻을 확률은 전체 확률 1에서 해골을 0개, 1개, 2개 얻을 확률을 빼면 돼요. 각각 계산하면 약 0.048, 0.147, 0.225이지요. 때문에 3개의 해골을 얻지 못할 확률은 약 42%이고, 해골을 3개 이상 얻을 확률은 약 58%예요.
미션 2. 신호기 만들기
위더를 잡아 얻은 네더의 별로는 신호기를 만들 수 있어요. 신호기는 일정 거리 안에 있는 플레이어들에게 특정한 효과를 제공하는 블록이에요. 예를 들어 이동 속도가 빨라지는 효과를 가진 신호기라면 그 신호기의 주변에서는 이동 속도가 빨라지지요.
<;문제 상황>; 4층 피라미드를 쌓기 위해 필요한 블록의 개수는?
신호기는 피라미드 구조물의 맨 위에 설치해야 해요. 피라미드의 높이가 높을수록 신호기의 힘이 더 강력해지고, 상태 효과가 미치는 범위가 넓어져요. 피라미드의 높이는 4층까지 가능해요. 그러면 4층짜리 피라미드를 만들기 위해선 몇 개의 블록이 필요할까요?
<;수학으로 따지기>;
1층짜리 피라미드를 만들기 위해선 3×3=9개의 블록이 필요해요. 2층짜리 피라미드를 만들기 위해선 1층짜리 피라미드에 사용한 9개에 5×5=25개의 블록을 더하면 되지요. 3층은 어떨까요? 2층짜리 피라미드에 사용한 34개에 7×7=49개의 블록을 더하면 돼요.
이전에 사용한 블록의 개수에 어떤 수를 더하는 규칙성이 보이나요? 그런데 더하는 수 역시도 ‘홀수의 제곱’이라는 규칙성을 가지고 있어요. 따라서 n층 피라미드는 n - 1층 피라미드에 필요한 블록의 개수에 (2n + 1)2만큼 더하면 되는 거지요.
우리는 피라미드를 4층까지만 만들면 되는데요. 규칙에 따르면 3층까지 필요한 블록의 개수는 83개이고, 4층을 만들기 위해선 맨 아래층에 9×9=81개의 블록이 더 필요하므로, 164(=81 + 83)개가 필요하답니다.
