작은 부분 속에 담긴 전체, 프랙털
‘부분은 전체처럼 보이고, 그 부분의 부분은 그 부분처럼 보인다.’
프랙털이란 작은 조각이 전체 구조와 비슷하게 끝없이 반복되는 구조를 뜻합니다. 1975년 폴란드 출신으로 프랑스와 미국에서 활동한 수학자 브누아 망델브로가 ‘쪼개다’라는 뜻을 가진 라틴어 ‘프랙투스(fractus)’에서 따와 이름 붙인 것으로 알려져 있습니다. 이후 많은 수학자를 거쳐 프랙털은 번개나 나뭇가지, 산이나 구름, 해안선의 모양 등 불규칙해 보이는 자연 현상을 프랙털로 표현해 연구하는 ‘프랙털 이론’과 ‘프랙털 기하학’ 등으로 발전합니다.
다양한 분야에서 쓰이는 프랙털 구조의 주요 성질은 ‘자기 유사성’과 ‘순환성’입니다. 자기 유사성이란 자신과 비슷한 형태를 만든다는 뜻으로, 프랙털은 도형 일부분이 전체 모습과 닮아 있습니다. 순환성은 계속해서 반복된다는 뜻으로, 도형 일부를 계속 확대해도 그 부분 속에 전체의 구조가 반복됩니다.
이런 프랙털 원리를 수학에 적용해 만든 도형을 프랙털 도형이라고 합니다. 대표적인 예로는 칸토어 집합, 코흐 눈송이, 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 양탄자, 시에르핀스키 피라미드, 멩거 스펀지 등이 있습니다. 프랙털 도형 중 하나인 시에르핀스키 피라미드를 만들고 그 특징을 탐구해 봅시다.
