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루빅스 큐브의 목표는 모든 면이 한 가지 색만 갖도록 퍼즐을 배열하는 것이지만, 9색 큐브의 목표는 모든 면이 9개의 색을 모두 갖도록 쌓는 것이다. 수 대신 색을 중복되지 않게 배열하는 일종의 ‘스도쿠 퍼즐’이라고 할 수 있다. 9색 큐브 활동은 영국 케임브리지대학교에서 운영하는 웹사이트 ‘nrich.maths.org’에 소개돼 있으며, 최근에는 국내 수학체험전에서도 종종 만나볼 수 있다.

3×3×3 큐브의 6면에 9가지 색이 모두 나타나게 만들려면 어떻게 해야 할까? 우선 1×1×1 큐브로 3×3×3 큐브를 채우려면 3³=27개가 필요하다. 즉 서로 다른 9가지 색으로 이뤄진 멀티큐브를 색깔별로 3개씩, 총 27개 준비해야 한다. 27개의 큐브는 3×3×3 큐브에서 꼭짓점에 8개, 모서리에 12개, 면에 6개, 그리고 큐브의 중심에 1개로 나뉘어 들어간다. 따라서 8+12+6+1=27개로 하나의 3×3×3 큐브를 구성한다.

이제 3×3×3 큐브의 6개 면에 9가지 색이 모두 보이게 큐브를 배치해보자. 먼저 3×3×3 큐브에 들
어간 1×1×1 큐브의 보이는 면의 개수에 따라 아래 그림과 같이 1, 2, 3을 표시한다. 1이 표시된 큐브는 1개의 면만 보이고, 보이는 면이 없는 중심에 위치한 큐브는 0으로 나타낸다.

여기서 특정 색의 1×1×1 큐브를 3×3×3 큐브의 6면에 한 번씩만 나타나도록 배치하는 것이 관건이다. 특정 색의 1×1×1 큐브가 총 3개이므로 각 큐브가 0, 1, 2, 3 중에 놓일 수 있는 상황을 a, b, c라 하자. 이때 a+b+c=6이며, a, b, c를 순서쌍 (a, b, c)로 나타내면 가능한 경우는 (1, 2, 3)과 (2, 2, 2) 그리고 (3, 0, 3) 3가지뿐이다. 3×3×3 큐브에서 (1, 2, 3)으로는 6가지, (2, 2, 2)로는 2가지, (3, 0, 3)으로는 1가지 큐브 배치를 만들 수 있다.

0에 해당하는 큐브의 색을 하나 정하면 (3, 0, 3) 규칙에 의해 꼭짓점 8개 중에서 2개의 색은 중심
과 같은 색으로 정해진다. 그리고 나머지 꼭짓점 6개의 색은 (1, 2, 3) 규칙에 의해 6개의 면에서 1로 표시한 곳에 쌓는 색으로 결정된다. 또 모서리 12개 중에서 6개는 앞서 적용된 (1, 2, 3) 규칙에 의해 자동으로 정해진다. 나머지 모서리 6개는 아직 사용하지 않은 2가지 색으로 쌓으면 된다.

손대원 선생님은 컴퓨터와 수학에 관심이 많아 수학 SW인 ‘GSP5’와 ‘Cabri3D’의 한글화를 담당했으며 2012년부터 수석교사로 활동하고 있습니다. 요즘은 커팅 프린터와 3D프린터에 빠져 컴퓨터를 활용한 수학교구를 개발하는 데 힘쓰고 있습니다.