d라이브러리

중ㆍ고교 교과 과정의 수학을 넘어서지 않는 수준에서 해결할 수 있는 재미있는 수학 연구 주제들을 소개하고 있습니다. 이번 호에 소개하는 것은 KAIST 사이버영재교육센터에서 2005년에 출제되었던 과제로, 3차 방정식에도 2차 방정식에서처럼 판별식이 있을까 하는 호기심으로부터 비롯된 주제입니다.

실계수 2차 방정식 ax²+bx+c=0의 판별식이 D=b²-4ac이라는 것을 여러분은 모두 중학교 과정에서 배웠다. 이 판별식은 2차 방정식의 근의 종류를 판별하는 데에 사용된다. 즉, 이 간단한 식을 계산해보는 것만으로 이 2차 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는지(D>;0), 중근을 갖는지(D=0), 혹은 서로 다른 두 허근을 갖는지 (D<;0)를 간편하게 파악할 수 있다.

그럼 3차 방정식에서는 이런 편리한 방법이 없는 것일까? 3차 방정식과 4차 방정식까지는 근의 공식이 존재한다는 것은 유명한 사실이다. 그렇다면 당연히 3차 방정식의 근의 종류를 판별하는 방법도 있어야 하지않을까? 이번 과제에서는 그것에 대해 고찰해보는 시간을 갖도록 하겠다. 앞으로 다루는 모든 고차 방정식은 모두 실계수 방정식을 말하는 것으로 하겠다.









낭만 올림피아드

‘도시대항 국제수학토너먼트(TOT)’에서 만났던 수많은 멋진 문제들 중에서도 ‘대표적인 멋진 문제’를 꼽으라 한다면 필자에게 가장 먼저 떠오르는 문제가 하나 있습니다. 그것이 바로 이번 호에 소개할 문제입니다. 어떤 문제일지 궁금해지지 않나요? 여러분도 기억에 남는 멋진 문제를 하나쯤 갖고 있나요? 원래의 문제보다 조금만 쉽게 변형해서 소개하겠습니다.


‘벗어날 수 없다’일 거라는 추측이 듭니다. 그렇다면 그 추측을 어떻게 증명해야 할까요?

위와 같은 작업을 경험해보면, 우상으로 진행할수록 아메바가 늘어나는 품새로 볼 때, 좌하쪽의 칸이
우상쪽의 여러 칸의 모임과 대등할 만큼 가치가 큰 것이 아닐까 하는 생각을 할 수 있습니다. 좀 더 정밀하게 말하면, 아메바가 분열하기 전에 위치했던 한 칸이 아메바가 분열된 이후의 두 칸과 대등한 상황이라는 생각입니다. 혹은 조금 다르게 생각하면, 아메바가 분열하면서 크기가 절반씩인 두 마리로 분열된다고 생각해도 좋겠습니다. 그럼 각 칸의 위치에 따라 그 칸에 오게 되는 아메바의 크기가 결정되고, 아메바 전체의 크기의 합은 항상 일정함을 관찰할 수 있습니다. 이런 불변량에 착안하면 다음과 같은 풀이를 할 수 있습니다.