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다윗의 별은 삼각형 두 개를 겹쳐 만든 별 모양입니다. 유대인과 유대교를 상징하는 표식으로 이스라엘 국기에 그려져 있습니다. 다윗 왕의 아들 솔로몬 왕이 이스라엘과 유대를 통합한 뒤 다윗의 별을 유대왕의 문장으로 삼았던 것이 다윗의 별의 유래라고 말하는 사람도 있지요. 그런데 수학이랑은 전혀 상관없어 보이는 다윗의 별에서 이름을 딴 수학 정리가 있습니다. 어쩌다 수학에까지 나타나게 됐을까요?

첫 줄에 숫자 1을 적는 것을 시작으로, 아랫줄로 내려 가면서 숫자의 개수를 하나씩 늘려 만든 삼각형 모양의 표를 만들어 봅시다.

숫자를 적을 때는 규칙이 있습니다. 바로 윗줄의 두 수를 더한 값을 두 수 사이 아래에 적어야 합니다. 예를 들어 세 번째 줄의 두 번째 수는 바로 위의 두 수 1을 더해 2로 적는 겁니다. 가장자리 수는 늘 처음의 1이 그대로 따라 내려옵니다. 이런 규칙에 따라 적다보면 ‘파스칼 삼각형’이라 부르는 표가 생겨요.

수학적으로 보면, 파스칼 삼각형에 있는 수는 ‘조합’의 가짓수를 나타내는 이항 계수와 같습니다. 조합은 쉽게 말하면 두 개의 개체를 선택하는 방법의 수입니다. a와 b 두 개를 선택하는 방법으로 조합을 알아 볼게요.

a와 b 두 개를 뭐든 한 번만 선택할 수 있다면 a를 선택하는 경우, b를 선택하는 경우가 각각 한 개씩 있습니다. 두 번 고른다면, a만 2번 선택하는 경우, a를 선택하고 b를 선택하는 경우, b를 선택하고 a를 선택하는 경우, b를 2번 선택하는 경우가 있겠네요. 그런데 조합은 순서를 신경 쓰지 않기 때문에 a와 b를 한 번씩 선택하는 경우는 같은 것으로 봅니다. 이것을 다항식으로 나타내면 위의 ❶과 같아집니다. a와 b의 지수가 곧 a와 b를 선택한 횟수지요.

이처럼 어떤 두 수 a, b의 합을 거듭 제곱한 뒤 나열했을 때, 이항 계수를 이용해 a2+2ab+b2처럼 단항식의 합으로 나열한 것을 이항정리라고 합니다. 그리고 문자 앞에 있는 계수가 바로 이항 계수입니다. ❷처럼 이항 계수만 따로 떼어 보면 파스칼의 삼각형이 돼요. 참고로 ❸처럼 이항계수는 조합 기호 C를 이용해서 일반화해 나타낼 수도 있어요. 조합 nCr 은 n개 중 r개를 선택한다는 뜻입니다.

파스칼의 삼각형에 등장한 다윗의 별

미국의 수학자 헨리 굴드는 1972년 파스칼의 삼각형에서 ‘다윗의 별 정리’를 발견합니다. 파스칼의 삼각형에 있는 숫자는 가장자리의 1을 제외하면 전부 여섯 개의 숫자로 둘러싸이게 됩니다. 여섯 개의 숫자를 하나씩 건너 뛰어 선택해 세 개씩 짝지어 봅시다.

예를 들어 84를 기준으로 가장자리 여섯 개의 숫자는 (56, 36, 210)과 (120, 126, 28) 두 쌍으로 나뉩니다. 이때 짝 지은 숫자 쌍끼리 선으로 연결하면 삼각형이 그려지고, 두 삼각형이 겹쳐서 다윗의 별 모양이 만들어집니다. 굴드는 여기에 다윗의 별 정리라는 이름을 붙였지요.

물론 수학적인 의미도 있습니다. 삼각형으로 짝지어진 두 숫자 쌍의 최대공약수(gcd)가 같습니다. 다윗의 별 정리는 어떤 숫자를 선택해도 늘 성립합니다. 파스칼의 삼각형을 보며 이 정리가 사실인지 직접 확인해 보세요~.

* 편집자 주
이름만 보고서는 정체를 알 수 없는 수학 정리가 있다! 특이한 이름의 수학 정리에 재미있는 이름이 붙게 된 유래와 함께 수학적 의미를 살펴봅니다. 기사를 읽기 전에 어떤 수학 정리인지 추측해 보면 더 재밌을 거예요!