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수학의 아름다움, 정다면체

그리스의 수학자 플라톤은 도형에 관심이 많았으며, 우주의 원리를 도형으로 설명하고자 했다. 그는 같은 도형으로만 이뤄진 입체도형인 ‘정다면체’가 오직 다섯 가지만 있다는 사실을 알아냈다. 그래서 지금도 이 다섯 정다면체를 ‘플라톤 정다면체’라고 부른다.

우리는 중학교 1학년 과정에서 이 다섯 가지 정다면체를 배운다. 간단한 모양인 정사면체와 정육면체는 주변에서 쉽게 볼 수 있지만, 정팔면체나 정이십면체는 쉽게 접하기 힘들고 복잡하게 느껴진다.

예를 들어 정육면체는 이름만 들어도 머릿속에 모양이 떠오르지만, 정팔면체와 정이십면체는 어떤가?

수학을 탐구하는 가장 좋은 방법은 직접 눈으로 보고 손으로 만들어 보는 것이다. 그러므로 정다면체의 원리가 담긴 공예품 접기를 소개하고자 한다.

원리는 간단하다. 먼저 다음 페이지를 참조해 색종이 하나를 기본 유닛으로 만든다. 한 유닛은 몸체와 연결부위로 이뤄져 있다. 몸체는 정사각형으로, 이를 반으로 접으면 두 개의 직각이등변 삼각형이 된다. 이 삼각형 3개를 겹쳐, 즉 유닛 3개를 서로 끼워 삼각뿔을 만들면 밑면이 정삼각형이 된다. 이를 모아 입체도형을 만드는 것이다. 이 공작으로 만들 수 있는 건 한 면이 정삼각형인 정다면체다.

그렇다면 정삼각형 8개로 이뤄진 정팔면체를 만들기 위해서는 몇 개의 유닛이 필요할까? 정삼각형 밑면이 나오려면 직각이등변삼각형 3개가 필요하다. 그리고 유닛 하나당 직각이등변삼각형 2개가 나오기 때문에 8×3÷2=12, 총 12개의 유닛이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이와 같은 방법으로 정이십면체를 만들기 위한 색종이의 수도 구할 수 있다.