d라이브러리

웰컴! 수학동아tv에 오신 걸 환영합니다. 오늘부터 저 BJ맹추가 기사에 등장하는 수학 개념을 낱낱이 파헤쳐 볼 거예요. 첫 번째 수학 개념은 기획 기사에 등장하는 ‘확률’입니다. 이름만 들어도 일어날 것도 같고, 안 일어날 것도 같은 개념, 확률! 첫 방송이라 떨리지만 열심히 준비했으니 즐겨찾기, 추천 한 번씩 부탁드려요~♪

무조건 당첨인거 인정? No인정!
며칠 전 친구에게 ‘근의 공식 기억나?’라고 묻자 ‘그런 건 수능 시험이 끝났을 때 모두 증발해 버렸어!’라며 역정을 내더군요. 당황한 저는 수학 개념이 왜 수능 시험만 끝나면 끓는점에 도달하는지 누가 좀 밝혀줬으면 좋겠다는 생각이 들었습니다.

많은 개념들이 수증기처럼 날아가지만, ‘확률’은 그나마 엉덩이가 무겁습니다. 꼭 수학과 연관짓지 않아도 복권에 당첨될 확률, 정답을 찍어서 맞힐 확률, 국가대표 축구팀의 16강 진출 확률 등 일상생활에서 어떤 일이 일어날 ‘가능성’을 나타내는 뜻으로 많이 사용하니까요.

그런데 말입니다. 확률이 뜻하는 ‘가능성’에 대해 짚고 넘어갈 필요가 있습니다. 여러분은 혹시 ‘제비뽑기의 당첨 확률이 1/6이니까 여섯 번 뽑으면 반드시 한 번은 당첨되겠지?’라며 확률을 과대평가하고 있지 않나요?

아쉽지만, 확률은 ‘몇 번 하면 반드시 일어난다!’고 할 만큼 확실한 결과를 보장하는 도구는 아니에요. 어떤 제비뽑기의 당첨 확률이 1/6이어도 저처럼 운 나쁜 사람은 열 번을 뽑는 동안 주구장창 꽝이 나오기도 하니까요.

확률은 여러 사건 중에 어떤 사건이 좀 더 확실하게 일어나는지 비교할 수 있는 척도일 뿐이니 반드시 일어날 거라고 기대하지는 마세요!

1/2이 1/2인 이유?

동전을 던져 앞면이 나올 확률이 1/2인건 모두가 알고 있을 거예요. 모두가 ‘예’라고 할 때 ‘아니오’라고 말하기 좋아하는 저는 왜 하필 1/2이라는 수가 앞면이 나올 가능성을 나타내는지 궁금해졌습니다. 이유는 야코프 베르누이라는 수학자 때문이었죠.

확률의 뜻을 처음 정의한 수학자 야코프 베르누이는 ‘추측술’이라는 책에서 ‘각각의 사건이 일어날 가능성이 같을 때, 그것이 일어날 수 있는 경우의 수와 가능한 모든 경우의 수의 비’가 확률이라고 말했습니다. 동전을 던지면 앞면 또는 뒷면 2개의 경우밖에 없으니 1/2이 나오는 거죠.

그런데 베르누이가 일방적으로 정의한 확률을 반드시 따를 필요가 있나요? 몇몇 수학자는 직접 동전을 던져서 앞이 나온 횟수를 이용해 확률을 구해야 한다고 주장합니다. 동전을 직접 10번 던져서 앞면이 3번 나오면 확률이 3/10인 거고, 던지는 횟수가 클수록 정확한 확률을 구할 수 있다고 했지요.

어차피 못 구하는 거네요? 개이득~

무한 번 던질 수 있다면야 실제로 던져 보는 방법이 현실적이고 더 납득하기 쉬워 보입니다. 무한번 던지는 일이 현실성 없지만요.

그런데 우리의 베르누이. 그 당시에도 저처럼 ‘삐딱선’ 타는 사람이 많았는지, 한마디로 논란을 끝내버립니다. 베르누이에 따르면 던지는 횟수를 무한정 반복하더라도 그 값은 베르누이가 말한 방법대로 구한 확률과 차이가 없다는 거였죠. 바로 ‘큰 수의 법칙’입니다.

얼마나 다행인가요. 동전을 던져 앞면이 나오는 확률을 구하려면 무한정 던져야 했을 텐데 간단한 계산만으로 정확한 확률을 구할 수 있으니까요.

아차! 깜빡 잊고 말을 안 했네요. 베르누이가 정의한 확률이 바로 교과서에 나오는 ‘수학적 확률’입니다. 직접 던져서 계산하는 방법은 ‘경험적 확률’이고요.