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평화로운 토요일 오후, 숲속에 있는 성에 놀러간 공주는 성에 살던 마녀의 물레 바늘에 손가락을 찔린다. 물레 바늘에는 마녀가 미리 독을 묻혀 놓았고, 공주는 깊은 잠에 빠져들어 다른 사람이 깨우기 전에 결코 일어나지 않게 됐다. 또한 공주는 하루 전에 일어난 일은 모두 잊어버린다. 하지만 다시 하루가 지나면 일어난 모든 일을 기억할 수 있다.

그날 밤, 집에 돌아오지 않는 공주를 찾아 헤매던 왕자는 공주가 잠든 성에 도착했다. 마녀는 왕자에게 ‘공주를 구하려거든 토요일 밤이 가기 전에 멀쩡한 동전을 던지라’고 일렀다.

그리고 ‘만약 동전이 앞면이 나오면 공주를 월요일 하루만 깨우고, 뒷면이 나오면 월요일과 화요일, 이틀을 깨우라’고 했다. 곧이어 마녀는 공주의 꿈속으로 들어가 공주에게 이 내용을 모두 알려줬다.

즉, 공주는 왕자가 동전을 던진 결과에 따라 자신을 월요일 또는 화요일에 깨운다는 사실을 알고 있다. 하지만 잠에서 깬 공주는 그 날이 월요일인지 화요일인지 모른다. 그리고 만일 공주가 화요일에 깨어난다면 자신이 월요일에 한 번 깨어났었다는 사실을 기억하지 못한다.

왕자는 마녀가 시키는 대로 동전을 던졌고, 월요일인지 화요일인지 모르는 날에 공주가 깨어났다. 그리고 공주가 깨어날 때마다 ‘제가 던진 동전이 앞면이 나왔을 확률은 얼마입니까?’라고 물었다. 공주는 이 확률이 얼마라고 말해야 할까?

중고등학생을 위한 수학 문제집에서 확률값은 특정한 사건이 일어나는 경우의 수를 일어날 수 있는 모든 경우의 수로 나눠 구한다. 이렇게 사건이 일어나는 빈도에 집중하는 확률 계산 방법과 달리, 확률을 구하려는 사람이 그 확률을 얼마나 믿을지를 반영하는 확률인 ‘주관 확률’이 있다. 잠자는 숲속의 공주도 주관 확률에 관한 문제다.

미래의 일은 현재의 일에 영향을 줄 수 없지만, 과거의 일은 현재의 일에 영향을 끼칠 수 있다. 사람들은 이 영향을 근거로 과거에 벌어진 일을 추측한다. 수동이의 동생도 과거에 이미 일어난 일을 추측하면서 새롭게 정보를 얻었다. 바로 ‘동전이 뒷면이 나왔을 때만 내가 깨어날 수 있다’는 점이다. 그러므로 수동이의 동생은 ‘동전이 앞면이 나왔을 확률’이 0이라고 답해야 한다. 비록 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 같은 동전이라도 앞면이 나올 확률이 

무조건 깨우는 수동이
그렇다면 이미 일어난 일에 대해 추론하면서 새로운 정보를 얻으면 항상 다른 확률이 나오는 걸까? 의심스러운 독자에게 추천하는 짧은 이야기가 있다.

수동이의 동생은 모든 정보를 동원해 동전의 앞면이 나왔는지, 뒷면이 나왔는지를 추론할 것이다. 동생이 잠에서 깨어나 새롭게 얻은 정보는 단지 ‘잠에서 깨어나 질문을 받았다’는 것뿐이다. 이 정보는 첫 번째 이야기에서는 쓸모가 있었지만 이번만큼은 수동이가 일요일에 던진 동전이 앞면이 나왔는지, 뒷면이 나왔는지를 아는 데 아무런 도움이 되지 않는다. 논리학에서는 이 상황을 ‘앞면과 뒷면에 대한 동생의 판단에서 완벽한 정보 대칭성이 유지되고 있다’고 표현한다.

잠에서 깬 공주의 추론
다시 잠자는 숲속의 공주의 문제다. 어느 요일인지 알 수 없는 날에 잠에서 깨어난 공주는 왕자에게서 “동전이 앞면이 나왔을 확률은?”이라는 질문을 받는다. 공주는 모든 정보를 동원해 과거에 어떤 일이 일어났는지를 추론한다. 공주가 가진 가장 중요한 정보는 자신이 지금 깨어나 질문을 받고 있다는 사실이다. 그런데 동전이 앞면이 나왔다면 공주는 딱 한 번, 월요일에 깨어나지만, 뒷면이 나왔다면 월요일과 화요일, 두 번 깨어난다.