종이 위에 서로 다른 점 n개를 잘 찍어봅시다. 예를 들어 한 직선 위에서 1cm 간격으로 점을 하나씩 그린다면, 이 n개의 점에서 나올 수 있는 거리는 1cm, 2cm, 3cm, …, (n-1)cm로 총 n-1가지입니다. 그 중 1cm씩 떨어진 쌍은 총 n-1쌍 있지요.
그러면 서로 다른 점 n개가 평면 위에 있을 때 서로 다른 거리가 최소로 나오게 하려면 어떻게 해야할까요? f (n)을 서로 다른 n개의 점이 있을 때 반드시 찾을 수 있는 서로 다른 거리 수의 최솟값이라고 합시다.
이라는 점이므로, 상금의 절반인 250달러를 두 수학자에게 줘야 한다고 주장했습니다. 그만큼 구스와 카츠의 업적이 뛰어나다는 뜻이지요. 구스와 카츠가 과연 250달러 상금을 받았는지 궁금하네요.
이 성과로 구스와 카츠는 지난해 클레이 연구상을 타기도 했습니다. 2000년 밀레니엄 문제라고 해서 수학 난제 7개를 뽑아 각 문제별로 해결하는 사람에게 상금 100만 달러를 준다고 했던 걸 기억하나요? 이 상금을 건 곳이 바로 ‘클레이 수학연구소’입니다. 이곳에서 매년 훌륭한 논문을 쓴 사람에게 상을 주고 있는데, 구스와 카츠가 바로 이 연구로 상을 받은 것이지요.
에르되시 거리 문제와 관련된 미해결 문제는 여전히 많습니다. 3차원 공간에서는 어떻게 될지, 더 나아가 더 높은 차원으로 올라가면 f(n)이 어떻게 바뀔지 등 여러 방향에 대한 연구가 남아있지요. 학자들은 벌써 구스와 카츠가 사용한 아이디어를 이용해 여러 문제를 풀려고 시도하고 있습니다. 지금 이 글을 읽고 있는 누군가도 새로운 방법을 도입해 오래된 미해결 문제를 해결하면 좋겠습니다.
