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올레를 따라 걷는 제주도 수학 여행 마지막 회입니다. 이번에는 올레에 어떤 수학이 숨어있을까요?
발길 닿는 곳곳마다 탄성을 자아낼 법한 풍경 속에 ‘베릿내’가 있습니다. 베릿내는 ‘벼랑’을 뜻하는 제주도 사투리인 ‘벨’과 ‘처소’를 뜻하는 ‘잇’, ‘냇가’를 뜻하는 ‘내’가 붙어 만들어진 이름입니다. 벼랑이 있는 냇가라는 뜻이지요. ‘별’을 뜻하는 사투리도 ‘벨’이기 때문에 ‘별이 내리는 냇가’로도 불립니다. 서귀포시는 이곳을 주민들의 휴식공간인 생태공원으로 만들었습니다. 한여름 주말에는 이곳에서 물놀이를 즐기는 가족도 많습니다.
베릿내에 가면 아치 다리를 볼 수 있습니다. 아치 다리는 돌이나 벽돌을 곡선 모양으로 쌓아올린 구조인데, 위에서 아래로 누르면 양끝이 밖으로 벌어지려고 합니다. 아치가 벌어지지 않도록 양끝을 고정하면 가느다란 막대로도 매우 큰 힘을 견디는 다리를 만들 수 있습니다. 아치는 우리 주변에서 쉽게 관찰할 수 있습니다. 사람의 발바닥과 갈비뼈, 파충류나 조류의 알에도 아치 모양이 있습니다.
블록이나 나무판자로 아치 다리 만들기
접착제 없이 블록을 쌓아 아치 다리를 만들 수 있습니다. 아치처럼 둥근 받침대를 준비하고, 받침대 양 끝에 단단한 받침돌을 대세요. 받침돌을 대는 이유는 아치 다리를 다 만들고 나서 다리 양 끝이 밖으로 벌어지지 않게 하기 위해서입니다. 그 다음 받침대 위에 네모난 나무 블록을 차곡차곡 올립니다. 받침대 위에 블록을 모두 쌓으면 받침대를 조심스럽게 뺍니다. 이렇게 만든 아치 다리 위에 무거운 물건을 올려보세요. 다리가 쉽게 무너질 것 같아도 꽤 큰 무게를 버틸 수 있답니다. 나무판자만으로도 아치 다리를 만들 수 있습니다.
끈이나 못, 접착제 없이 아래 사진처럼 나무판자를 조립해 만든 다리를 ‘레오나르도 다빈치의 다리’라고 합니다. 나무판자를 규칙적으로 조립하면 다빈치의 다리가 완성됩니다.
여러분은 지오데식 돔을 본 적이 있나요? 제주 올레 8코스를 걷다 보면 지오데식 돔 형태의 서커스 공연장을 볼 수 있습니다. 왜 공연장을 지오데식 돔 형태로 지었을까요?
‘돔’은 지붕이나 천장이 반구 모양인 건축물입니다. 힘이 모든 부분에 골고루 분산되기 때문에 압력에도 잘 버팁니다. 기둥을 세우지 않아도 자체의 무게를 잘 견딜 수 있지요. 따라서 돔은 기둥이 없으면서도 공간이 넓어야 하는 체육관이나 전시장 같은 곳에서 흔히 볼 수 있습니다. 게다가 돔은 전통적인 건축물보
다 적은 재료를 쓰고도 훨씬 더 큰 공간을 얻을 수 있는 구조이기도 합니다. 돔은 반구 모양인데, 구는 부피가 일정할 때 겉넓이가 가장 작은 입체 도형이기 때문입니다.
그럼 ‘지오데식 돔’은 무엇일까요? 지오데식 돔을 만들려면 우선 지오데식 구를 만들어야 합니다. 먼저 정이십면체의 각 모서리를 n등분해서 각 면을 n2개의 정삼각형으로 나눕니다. 이 입체도형을 부풀려서 모든 꼭짓점이 입체의 중심에서 같은 거리에 있는 다면체를 만듭니다. 이것이 지오데식 구입니다. 지오데식 구를 반으로 나누면 지오데식 돔이 됩니다.
지오데식 돔은 모든 면이 삼각형으로 이뤄져 있어 삼각형의 변의 길이를 계산한 다음 뼈대를 계속 이어나가는 식으로 만들면 됩니다. 무척 간편한 방법이지요. 뿐만 아니라 모든 면이 삼각형이기 때문에 큰 힘이 가해져도 뼈대가 휘거나 부러지지 않는한 전체적인 모양을 유지할 수 있습니다.
지오데식 돔 만들기
지오데식 돔이 정말 기둥 없이도 안정적인지 알아볼까요? 지오데식 돔을 만드는 방법은 여러 가지지만 4D프레임을 이용해 2단계 지오데식 돔을 만들어 봅시다.
제주 올레 수학 여행에서 친구들도 무척 큰 지오데식 돔을 만들었습니다. 공간이 넓어 3명도 너끈히 들어갈 수 있었지요. 돔 안에서는 지오데식 돔의 구조도 자세히 살펴볼 수 있습니다. 이 거대한 지오데식 돔은 누구나 사진을 찍고 싶어 할 만큼 인기를 끌었답니다.
이 여행의 마지막 코스는 바로 아름다운 중문해수욕장입니다. 이곳에서도 간단한 모래실험으로 수학적 원리를 찾아볼 수 있습니다. 그럼 시작해 볼까요?
원기둥과 원뿔의 밑면의 반지름이 구의 반지름과 같고 ‘구의 지름=원기둥의 높이=원뿔의 높이’라는 조건을 만족하는 구, 원기둥, 원뿔의 부피는 어떤 관계가 있을까요?
플라스틱 원뿔에 모래를 가득 채운 뒤 이 모래를 플라스틱 원기둥에 부어보세요. 모래를 붓기 전에 모래의 부피가 원뿔의 부피에 딱 맞도록 표면을 평평하게 고르는 건 필수! 몇 번을 부어야 원기둥을 가득 채울 수 있을까요? 같은 방법으로 구를 모래로 가득 채우려면 원뿔에 모래를 몇 번 채워야 할까요?
사진처럼 우드락으로 만든 삼각형을 준비합니다. 이 삼각형 위에 모래를 부으면 자연스러운 모래산이 생긴답니다. 이때 이 삼각형을 모래 바닥으로부터 조금 띄워야 모래산이 잘 만들어지지요. 과연 어떤 모래산이 나타날까요?
짠~. 피라미드를 닮은 삼각뿔 모양의 모래산이 생깁니다. 산꼭대기에는 삼각형 모양의 면 3개가 만나는 교점이 있지요. 교점으로부터 모래산의 밑면에 해당하는 삼각형의 세 변에 이르는 거리를 각각 재 보세요. 놀랍게도 모두 같습니다. 이 교점을 중심으로 하고, 교점에서 밑면의 변까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그려보세요. 모래산의 밑면에 해당하는 삼각형에 내접하는 원이 됩니다. 이 교점은 곧 삼각형의 내심이 된다는 사실도 알 수 있습니다.
네모난 우드락에 원을 그린 다음 평평하게 만든 모래밭에 올려놓습니다. 우드락에 그린 원 위에 세 점을 표시하고, 세 점 위에 모래를 부어주세요. 세 점을 중심으로 만들어지는 원 세 개가 한 점에서 만날때까지 계속합니다. 이때 늘 같은 양의 모래를 같은 높이에서 부어야 합니다.
세 점을 중심으로 만들어지는 모래산을 관찰해 보세요. 같은 높이에서 같은 양의 모래를 부었기 때문에 세 원의 크기는 모두 같습니다. 따라서 세 원이 만나는 교점에서부터 원 각각의 중심까지의 거리는 모두 같습니다. 교점을 중심으로 하고, 교점에서부터 원 각각의 중심에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원을 상상해 보세요. 처음에 원 위에 표시했던 세 점을 연결한 삼각형이 이 원 안에 딱 들어맞는다는 걸 알 수 있나요? 이 원은 이 삼각형의 외접원이 되므로 세 원의 교점은 외심이 됩니다.
지금까지 제주도에서 매해 열리는 제주수학축전 프로그램, 매쓰 투어를 소개했습니다. 수학은 멀리 있지 않습니다. 평소에 분명 여러분이 놓치고 지나가는 수학적 원리가 있을 겁니다. 이번 기회를 통해 재미있는 수학 원리를 찾아보길 바랍니다!
