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튜브라는 단어를 들으면 물놀이가 가장 먼저 생각나지만, 추운 겨울에도 해난 사고가 잦아 구조를 위한 구명 튜브가 필수죠. 그렇다면 나이대별로 적절한 튜브의 크기는 어떻게 구할까요? 수학에서 튜브 모양을 이르는 ‘토러스’의 구조를 살펴보면서 직접 구해봅시다.

내 몸을 지켜줄 튜브의 크기는?

물놀이를 즐기거나 해난 구조를 할 때 사용하는 튜브는 크기가 다양하다. 보통 6~7세는 지름이 60cm인 튜브를 사용하며, 초등학교 5, 6학년까지는 75cm, 중학생 이상이 되면 81cm 이상의 튜브를 사용한다. 나이가 들수록 튜브의 크기가 커지는 이유는 몸무게 때문인데, 알맞은 튜브의 크기를 정하려면 물에 잠긴 물체를 수면으로 밀어 올리는 힘인 ‘부력’의 개념이 필요하다. 부력은 물에 잠긴 물체가 밀어낸 물의 무게만큼 받으므로 아래 식으로 나타낼 수 있다.

부력=물의 밀도×물속에 잠긴 튜브의 부피  

따라서 자신의 몸무게에 맞는 튜브를 찾기 위해서는 튜브의 부피를 알아야 한다. 튜브처럼 한 직선을 중심으로 원을 회전시켜 만든 도형을 기하학에서는 ‘토러스(torus, 원환면)’라고 부른다. 토러스의 부피를 구하는 방법을 알아보자.

위쪽에서 측정한 토러스의 바깥 지름과 토러스의 두께(원기둥 밑면의 지름, 2r)를 이용해 토러스의 안쪽 지름을 구한다. 그리고 토러스의 중심부터 두께를 반으로 나누는 지점까지의 반지름 R을 계산한다.

안쪽 지름=바깥 지름-(토러스의 두께×2) =12-(3.4×2)=5.2
R=(안쪽 지름+토러스의 두께)÷2=(5.2+3.4)÷2=4.3  

구한 4.3cm를 반지름으로 갖는 원의 둘레는 2×π×4.3=약 27cm로 처음 만든 원기둥 높이와 같다. 즉 토러스의 부피는 원기둥의 부피와 같다. 이를 이용해 토러스의 부피를 구하는 식을 세울 수 있다.