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24년 전, 한 농촌 마을을 공포로 몰아넣은 연쇄살인사건이 발생했다. 범인은 자그마한 흔적조차 남기지 않았다. 소중한 가족을 잃은 유가족들의 마지막 소원은 공소시효가 끝나기 전에 범인을 잡는 것이다. 안타까운 사연에 장기미제전담팀의 사무실은 사건 해결의 실마리를 잡기 위해 고민으로 가득 차있다. 하지만 단서가 너무 부족하다. 그때 누군가가 사무실 문을 열고 들어오는데….





문을 열고 들어온 사람은 프로파일러! 프로파일러는 일반 수사 기법으로는 해결하기 힘든 사건에
투입돼 범인의 정체를 밝히는 경찰이다. 이들은 현장에서 찾은 직접적인 단서 외의 다른 정보를
이용해 범인의 특징을 알아맞힌다. 예를 들어, 범인이 흔적을 남기지 않은 사건에서는 범인의 용의주도한 성격을 추정할 수 있다. 프로파일러는 수학의 역문제와 같은 개념을 이용해 범인을 알아낼 수 있다고 호언장담한다. 도대체 역문제가 뭐길래 이렇게 자신만만한 걸까?

박쥐는 어떻게 반사된 초음파를 듣고 주위 상황을 알 수 있을까? 두 블랙홀이 충돌하면서 나오는 중력파로 어떻게 블랙홀의 특성을 알아낼까? 이런 문제가 ‘역문제’에 속한다.

우리가 지금까지 풀어본 문제는 대부분 방정식을 풀어 해를 구하는 ‘정문제’다. 역문제는 제한된 정보만 가지고 원하는 정보를 얻어내는 수학 기법으로, 해와 관련된 정보를 가지고 거꾸로 방정식의 계수를 구한다. 이 때문에 ‘역’문제라는 이름이 붙었다.

ax+b=y(a와 b는 상수, x와 y는 변수)라는 식이 있다고 하자. 보통 우리는 계수 a와 b를 아는 상황에서 x에 어떤 값을 넣었을 때, y가 무슨 값이 나오는지 알아내는 문제를 푼다. 역문제는 반대다. y에 대한 제한된 정보만으로 계수 a, b를 구해야 한다. 여기서 계수 a, b를 박쥐 주변의 상황이나 블랙홀의 특성이라고 비유할 수 있다. 즉 알고자 하는 정보다. 예를 들어, x와 y가 각각 3과 7이라고 하자.
 
여기에서 b가 원하는 정보라면, a라는 정보를 알아야 이 문제를 풀 수 있다. 하지만 보통 역문제는 그렇게 친절하지 않다. 이보다 더 적은 정보를 가지고 원하는 정보를 얻어내야 하는 것이 역문제다.

그래서 역문제는 풀기가 굉장히 까다롭다. 그 해가 있는지 없는지조차 판단하기 쉽지 않다. 그런데 20세기에 수학이 놀랍도록 발전하면서, 이를 극복할 수 있는 다양한 기법들이 만들어졌다. 컴퓨터의 성능도 획기적으로 좋아져 복잡하거나 계산의 양이 매우 많더라도 문제를 해결할 수 있게 됐다. 또한 측정 장치의 발달로 다양한 응용문제가 역문제 형태로 나타나면서, 역문제는 수학의 중요한 한 분야로 자리 잡았다.