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폴 : 뿔과 관련된 수학에 대해서 알아봐 달라는데, 검색해도 나오지 않고 도통 모르겠어서…. 실제로 뿔을 보면 뭔가 떠오르지 않을까 해서.
아밀리 : 앤드류 선배한테 물어보면 되잖아요? 마침 저기 오네요. 선배, 그게 뭐예요?
앤드류 : ‘알렉산더의 뿔 달린 구’라고, 뫼비우스 띠의 변종이야.
아밀리 : 우와~, 정말 신기하게 생겼어요!
뫼비우스 띠의 변종이 나타났다!
안과 밖의 구분이 없어 돌고 돌아도 끝이 없이 처음 위치로 돌아오는 뫼비우스 띠는 과학자는 물론 예술가, 대중에게까지 사랑받은 대표적인 도형이다. 수학자와 과학자에게 다양한 연구주제를 제공한 건 물론 예술가들에게도 많은 영감을 제공해 뫼비우스 띠 형태의 구조물이나 건축물, 가구, 영화, 소설 등이 등장했다.
그런데 이중에서도 위상수학자들이 뫼비우스 띠에 대해 갖는 애정은 남다르다. 뫼비우스 띠 등장 이후 안팎의 구분이 없는 도형을 만들기 위해 많은 위상수학자들이 연구에 몰두했고, 그 결과 탄생한 도형 중 하나가 클라인병이다. 뫼비우스 띠가 2차원 도형이라면 클라인병은 안쪽과 바깥쪽이 구별이 없는 3차원 도형이다.
그리고 여기 또 하나의 도형이 있다. 바로 ‘알렉산더의 뿔 달린 구’다. 동그란 구에 뿔이 난 모습을 하고 있어 이같은 이름으로 불린다. 미국의 수학자 제임스 워델 알렉산더가 1924년 발견한 도형으로, 곡면이 서로 뒤엉켜 있어 안과 밖의 구별이 없는 특징을 갖고 있다. 이 도형은 도넛 모양의 원환면으로부터 만들어지는데, 그 과정은 아래와 같다.
알렉산더의 뿔 달린 구 만들기
➊ 도넛 모양의 원환면을 만든다.
➋ 원환면의 한쪽 부분을 제거한다.
➌ ➋번에서 만든 구멍 난 원환면보다 크기가 작은 잘린 원환면을 2개 만든다. 그리고 큰 원환면의 잘린 부분에 새로 만든 원환면을 각각 연결한다. 이때 두 개의 작은 원환면은 서로 엇갈리게 건다.
➍ 원환면의 잘린 부분에 새로운 원환면을 붙이는 과정을 무한히 반복한다.
눈치 빠른 독자들은 알아챘겠지만 알렉산더의 뿔 달린 구는 프랙털 도형이다. 작은 조각이 전체와 비슷한 모양을 가진다. 그런데 이보다 더 중요한 수학적 성질이 있다. 바로 구와 위상동형이라는 점이다. 즉 알렉산더의 뿔 달린 구를 부수지 않고 잡아 늘이기만 해서 동그란 구를 만들 수 있다. 반대로 구를 구멍 내지 않고 알렉산더의 뿔 달린 구로 만들 수도 있다.
