“비법은 무슨…. 아! 어렸을 때부터 내가 퍼즐을 좋아해서 그런가? 삼촌이 퍼즐 마니아거든. 특히 소마큐브를 정말 좋아하지.”
“와! 그럼 저도 소마큐브 갖고 싶어요.”
“하나야, 삼촌이랑 소마큐브보다 더 특별한 입체 퍼즐을 만들어 볼까?”
‘분할’로 만든 퍼즐 모여라!
누구나 한 번쯤은 가지고 놀아 본 경험이 있는 퍼즐. 그 종류도 무수히 많아 셀 수 없을 정도다. 여러 가지 종류의 퍼즐 중에서도 ‘분할’을 이용한 퍼즐에는 어떤 것이 있을까?
동양의 대표적인 퍼즐에는 칠교가 있다. 큰 정사각형을 직각 이등변삼각형과 정사각형 등 7개의 조각으로 잘라 그 조각을 이용해 모양을 만드는 놀이다. 평평한 나무 조각으로 모양을 만드는 칠교는 2차원 퍼즐이라 볼 수 있다.
그렇다면 차원을 하나 더 확장한 3차원 입체퍼즐에는 어떤 것이 있을까? 입체를 분할한 대표적인 퍼즐로 소마큐브가 있다. 덴마크의 시인이자 물리학자 그리고 수학자였던 피에트 하인이 만들었다. 정육면체 3개 또는 4개로 이뤄진 폴리큐브 7개로 3×3×3 정육면체를 비롯한 여러 가지 모양을 만드는 퍼즐이다.
피에트 하인은 ‘공간이 어떻게 정육면체로 잘게 쪼개지는가’라는 양자 물리학 강의를 듣던 중 영감을 받아 이 퍼즐을 만들게 됐다. 몇 년 간의 연구 끝에 퍼즐을 완성했고, 퍼즐의 이름을 소마큐브라고 지었다. ‘소마’는 올더스 헉슬리의 ‘용감한 신세계’에 나오는 마약 이름으로, 마약만큼 중독성이 있는 정육면체(큐브) 퍼즐이란 뜻이다.
정육면체를 분할한 또 다른 퍼즐에는 ‘베들람 큐브’가 있다. 4×4×4 정육면체 모양을 폴리큐브를 이용해 조립하는 퍼즐로, 이 퍼즐을 만든 퍼즐 연구가 브루스 베들람의 이름을 따서 지었다. 베들람 큐브는 소마큐브와 비슷하지만 큐브를 만드는 방법이 무려 1만 9186가지로, 480가지인 소마큐브보다 경우의 수가 훨씬 많다.
한편 브루스 베들람은 2007년 세계 10대 불가사의로 꼽히는 스톤헨지의 비밀을 풀기도 했다. ‘공중에 걸쳐 있는 돌’이란 뜻의 스톤헨지는 영국의 선사시대 유적지로, 광활한 평지에 거대한 돌이 원형으로 놓여 있다. 베들람은 마치 퍼즐 조각을 맞추듯, 스톤헨지 주변에 있는 돌 조각을 이용해 원래의 모습이 원뿔 모양이라는 것을 알아 냈다.
아하! 생각이 쑥쑥! 합동인 다면체로 만든 정사면체
입체도형을 서로 합동인 다면체로 나누려면 어떻게 해야 할까? 앞서 <;실험1>;을 통해 만든 퍼즐이 서로 다른 세 종류의 다면체를 이용해 정육면체를 완성하는 퍼즐이었다면, <;실험2>;는 서로 합동인 다면체 4개를 이용해 정사면체를 완성하는 퍼즐이다. 정사면체를 합동인 다면체로 분할하는 방법에 대해 생각해 보자.
먼저 간단하게 정사면체를 합동인 다면체 2개로 나눠 보자. 여러 가지 방법이 있지만 그림❶과 같은 방법을 쉽게 생각할 수 있다. 정사면체의 한 꼭짓점과, 그 꼭짓점에 대응하는 정삼각형을 수직이등분하는 선분을 이은 면이 단면이 되는 경우다.
또 다른 방법으로는 그림❷와 같이, 정사면체를 이루는 정삼각형의 면이 사다리꼴과 정삼각형으로 나눠지도록 어슷하게 자르는 경우가 있다. 이렇게 자르면 2개의 합동인 오면체가 생긴다.
그런 다음, 오면체를 그림❸~❺와 같이 다시 각각 반으로 분할하면 정사면체를 이루는 4개의 합동인 다면체를 만들 수 있다. 여기서 그림❸~❺의 세 가지 경우는 모두 절단면이 평면이 다. 그러나 절단면이 평면이 아닌 경우까지 생각한다면, 다면체를 합동인 입체로 분할하는 경우는 무수히 많다. 이 밖에도 <;실험2>;와 같이 서로 합동인 4개의 육면체로 분할하는 방법도 있다.
이처럼 입체를 분할하는 방법은 여러 가지가 있다. 다양한 방법으로 입체도형을 분할하는 방법을 찾아보자. 재미와 창의성은 물론이고, 입체도형의 전개도부터 넓이와 부피까지 도형의 성질을 익힐 수 있다.
