d라이브러리

에휴~, 큐브에 매달린 지 벌써 5년. 하지만 아직도 그 답을 모르겠어. 이브는 어떻게 이 큐브를 단번에 맞춘 거지?
앗! 내 소개가 늦었군. 난 무엇이든 큐브 모양으로 만들어 버리는 폐기물 수거 로봇 월-E야. 최근 업그레이드 돼서 말도 술술 잘해. 그런데 2008년 지구로 돌아온 이후 뒤죽박죽 섞인 이 큐브 때문에 아무것도 못하고 있어. 너희들도 기억하지? 이브가 단번에 맞춘 이 큐브 말이야. 나도 당당하게 이 큐브를 맞추고 이브에게 프로포즈 할 생각이거든.
누구 큐브 맞출 수 있는 사람, 어디 없어요?



큐브, 플라톤에게 물어봐!
아무래도 안 되겠어. 내 검색기능을 이용해 큐브를 설명해 줄 사람을 찾아봐야겠어. 쓰레기 처리 로봇이 그런 기능도 있냐고? 말했잖아.

그 사이 업그레이드 됐다고. 어디 보자…. 플라톤? 큐브에 대해 가장 많이 연구한 수학자가 플라톤이라고 나오네.

자기 자리만 좋아하는 큐브
플라톤 박사님과 이야기를 나누다 보니 문득 아이디어가 떠올랐어. 큐브를 요리조리 돌리다보면 일정한 규칙이 있거든. 이것을 이용하면 경우의 수를 구하는 데 도움이 되지 않을까? 내가 발견한 규칙, 한번 들어 볼래?

정육면체의 가운데 있어 안 보이는 큐브 조각 1개를 제외한 26개의 큐브 조각은 위치한 자리에 따라 세 종류로 나뉜다. 축과 모서리, 귀퉁이 큐브다. 층마다 축 큐브 1개와 모서리 큐브 4개, 귀퉁이 큐브 4개로 구성된다.
 
그런데 큐브를 이리저리 돌리다 보면 총 8가지 방법으로 큐브를 돌릴 수 있다는 재밌는 규칙을 발견하게 된다. 1행과 3행을 오른쪽 또는 왼쪽으로 돌리거나, 1열과 3열을 위쪽 또는 아래쪽으로 돌리는 경우다. 그런데 이 방법을 이용해 여러 번 큐브를 돌려도 모서리 큐브는 모서리 큐브 자리에, 귀퉁이 큐브는 귀퉁이 큐브 자리에 위치한다. 그리고 축 큐브는 절대로 움직이지 않는다.

큐브는 20번 안에 무조건 풀린다?!

흠…, 얼핏 생각해도 큐브를 뒤섞는 경우의 수는 엄청나게 많을 것 같아. 5년 동안 매일 큐브를 돌려봤지만 한 번도 같은 모양이 나온 적이 없거든. 같았던 적도 있는데, 다 기억을 못해서 그런가?! 그런데 말이야, 내가 찾은 규칙을 이용하면 경우의 수를 구할 수 있을까?

큐브 맞추기 경우의 수는 상상초월!

쉽게 맞출 수 있을 것 같지만 그 해법을 모르면 하루 종일 이리저리 돌려도 맞추기가 쉽지 않다는 데 큐브의 매력이 있다. 큐브를 개발한 헝가리의 건축학자 에르뇨루빅도 무작위로 섞인 큐브를 제자리로 돌리는 데 한 달이나 걸렸다고 한다.

큐브를 섞을 수 있는 경우의 수가 얼마나 많기에 퍼즐 맞추기가 이렇게 어려운 걸까? 축과 모서리, 귀퉁이 큐브의 규칙을 고려해 3×3×3 큐브의 경우의 수를 구해 보자.

축 큐브는 전혀 움직이지 않기 때문에 경우의 수를 구하는 데 전혀 영향을 주지 않는다. 따라서 제외한다. 먼저 귀퉁이 큐브를 살펴보자. 첫 번째 귀퉁이 큐브가 위치할 수 있는 자리는 모두 8곳이고, 두 번째 귀퉁이 큐브가 위치할 수 있는 자리는 첫 번째 귀퉁이 큐브가 위치한 자리를 뺀 7곳이다. 이런 식으로 8개 경우를 모두 따지면 8!(1×2×3×…×8)이다. 12개의 모서리 큐브도 같은 방법으로 경우의 수를 구하면 되므로 12!이다. *그런데 이 중 50%만이 맞출 수 있는 큐브가 된다. 따라서 12!×1/2이다.

두 번째로 고려해야 할 사항은 회전이다. 한 개의 모서리 큐브는 2가지 색을 가지고 있으므로 회전했을 때 2가지 경우가 생긴다. 이런 모서리 큐브가 12개 있으므로, 경우의 수는 212이다. 귀퉁이 큐브도 마찬가지 방법으로 38이다. 여기에 실제로 풀리는 큐브가 되도록 안 되는 경우를 나눠 준다. *모서리 큐브의 경우 50%만, 귀퉁이 큐브는 33.3%만 가능하다. 따라서 1/2×1/3로 나눈다.

지금까지 구한 경우는 모두 동시에 일어나는 사건이므로 모두 곱하면, 8!×12!×1/2×3⁸×1/3×2¹²×1/2=43,252,003,274,489,856,000이 된다.
 
큐브의 ‘신의 수 = 20’

그렇다면 이렇게 엄청난 경우의 수를 가진 큐브를 최소 몇 번이면 원래 상태로 되돌릴 수 있을까? 이 물음은 1981년 52번이면 큐브를 모두 맞출 수 있다는 증명이 나온 후 ‘신의 수’라고 하여 수학자들의 오랜 연구 대상이었다. 그런데 2010년 미국과 독일의 수학자팀은 어떤 상태로 큐브가 뒤섞여 있어도 20번안에 각 면의 색을 모두 맞출 수 있다는 사실을 증명했다. 연구팀은 큐브를 맞추는 컴퓨터 프로그램으로 4325경 개의 경우를 일일이 확인해 이 같은 결과를 얻었다. 이 연구를 위해 구글에서 성능 좋은 컴퓨터를 지원했는데, 일반 컴퓨터로 계산했다면 35년은 더 걸렸을 것이라고 연구팀은 밝혔다.

큐브는 덧셈과 수학적 성질이 같다?!

큐브가 어떻게 뒤섞여 있어도 20번 안에 맞출 수 있다니 희망이 보이는군. 그런데 큐브를 맞추기 위해 이리저리 돌리다 보니 회전에도 뭔가 수학적인 원리가 있을 것 같아.

다시 검색을 해 볼까…. 어? 군 이론? 이게 뭐지?

‘군’을 이루는 큐브

1980년대 유럽 전역에서는 큐브가 크게 유행했다. 이 때 유럽과 미국의 수학자들도 큐브의 매력에 푹 빠졌다. 풀릴 듯 안 풀리는 큐브가 평소 어려운 문제를 해결하길 좋아하는 수학자들의 마음을 사로잡은 것이다.

큐브의 해법을 수학적으로 연구하던 수학자들은 1990년대 후반에 큐브의 회전에서 엄청난 발견을 한다. 바로 큐브를 돌리는 조작이 ‘군’이 된다는 것이다. 여기서 군은 ‘어떤 집합에서 임의의 두 원소가 덧셈이나 곱셈과 같은 연산을 했을 때, 그 값이 다시 그 집합의 원소가 되는 것’을 말한다. 군은 통신, 공개키 암호, 양자역학에도 이용되며, 수학의 오래된 난제였던 푸앵카레 가설이나 페르마의 정리를 증명하는 데도 쓰인다.

그렇다면 군이 되려면 어떤 조건을 만족시켜야 할까?그러면 어떤 집합과 연산이 군이 되는지 살펴보자. 정수는 덧셈(+)에 대해 군이 된다. 정수끼리 더하면 다시 정수가 되므로 조건1을 만족시킨다. 임의의 정수 3, 5, 7에 대해 (3+5)+7=3+(5+7)이므로 조건2도 만족시킨다.

이제 항등원과 역원만 보이면 된다. 항등원은 어떤 원소에 연산을 해도 그 원소가 되는 원소다. 따라서 정수의 항등원은 0이다. 어떤 수에 더해도 연산한 값이 자기 자신이 되기 때문이다. 역원은 어떤 원소에 연산을 했을 때 항등원이 되는 원소다. 그런데 정수에서는 어떤 정수라도 음의 부호를 붙인 값을 더하면 항등원 0이 되기 때문에 모든 정수는 역원을 갖는다. 그러므로 정수는 덧셈에 대해 군을 이룬다.

이제 큐브가 어떻게 군이 되는지 하나하나 따져 보자.


큐브 신기록, 누가 더 신기해?

군 이론까지 이해하고 나니 이제 웬만한 큐브는 모두 맞출 수 있을 것 같아. 이브가 맞춘 큐브도 조만간 맞출 수 있겠지? 그런데 이왕이면 아주 빠른 시간에 맞추면 이브가 더 좋아하겠지? 어디 큐브 빨리 맞추기 고수들한테 한수 배워 볼까?

후보1 후마의 6초벽을 깬 펠릭스 젬덱스

2011 호주큐브대회에서 일어났던 일은 죽을 때까지 잊지 못할 것 같아. 세계 처음으로 마의 6초벽을 깼거든. 너무 기뻐서 그날은 잠도 오지 않았어. 기록은 5.66초! 이 기록이 나오기 전까지 전문가들은 사람이 6초벽을 깨기란 어렵다고 말했었어. 그런데 내가 해 낸거지! 와우~!

지금 내 목표는 갤럭시 S2 레고 로봇이 기록한 5.352초를 깨는 거야. 지난해 10월 이 로봇이 처음으로 사람의 기록을 깼더라고. 내가 새로운 기록을 세울 수 있도록 응원해 줘~!


후보2 한 손으로 9초대 기록을 세운 미할 플스코비치

한 손으로 큐브를 맞춰 본 적 있니? 시도해 본 사람이라면 알겠지만 큐브 조각이 잘 돌아가지도 않고, 땅에 떨어뜨리기 일쑤야. 나도 처음에는 그랬거든. 하지만 밤낮을 가리지 않고 열심히 연습하다 보니 어느새 내가 이 분야 세계 최고가 돼 있었어. 2011 폴란드 대회에서 9.53초라는 대기록을 세웠거든. 아직도 꿈만 같아!

노력하면 안되는 일이 없는 것 같아. 친구들도 한 손 큐브 맞추기에 도전해 봐!


후보3 눈 가리고도 큐브 맞추는 우위 수

눈 뜨고도 못 맞추는 큐브를 눈 가리고 맞추는 게 가능하냐고? 절대 불가능해 보이지만 나는 이 종목 세계 챔피언이야. 내 기록은 30.58초. 15초 가량 섞인 큐브를 살펴 본 뒤 16초 동안 큐브를 맞춰. 먼저 머릿속으로 주어진 큐브를 3차원 좌표에 나타내. 뒤섞여 있는 큐브의 색깔을 좌표로 나타내기 위해서는 빨간색은 A, 초록색은 B, 이렇게 색을 문자로 바꾸지. 예를 들어 빨간색 큐브 조각이 왼쪽 가장 아래 있다면 A(0,0,0)이라고 외우는 거야. 그리고 눈을 가린 뒤 큐브를 돌릴 때마다 주어진 문자의 좌표를 바꿔 가며 큐브를 맞추지.
말만 들어도 어렵다고? 수학을 잘 한다면 도전해 봐. 빠져 나올 수 없는 매력이 있어.

후보4 발로 큐브 맞추기의 달인 안씨 반할라

나는 큐브를 맞추기 위해 가장 먼저 양말부터 벗어. 왜냐고? 바로 발로 큐브를 맞추기 때문이지.

발에서 땀이 나면 큐브를 제대로 돌릴 수 없기 때문에 발 관리도 열심히 해야 해.

내 최고 기록은 2011 핀란드대회에서 나왔어. 31.56초! 이 기록으로 세계랭킹 1위가 됐지.

발을 손처럼 자유자재로 움직일 수 있다면 한 번 도전해 봐! 단 오래 연습하면 발에 쥐가 날 수 있으니 조심하라구!


4차원 큐브도 있다?!

알면 알수록 큐브의 매력에 푹 빠지는 것 같아. 그런데 좀 더 색다른 큐브는 없을까?

어라? 4차원 큐브? 컴퓨터 프로그램을 이용하면 된다는데…. 아~ 궁금해! 이참에 큐브의 모든 것을 샅샅이 알아봐야겠어.
 
4차원은 어떤 세상?

우리는 보통 사람과 다른 행동을 하는 이들을 일컫어 ‘4차원’이라고 부른다. 우리가 살고 있는 공간이 3차원이기때문에 우리와는 다른 공간에 사는 사람이라는 뜻으로 쓰는 것이다.

그렇다면 수학에서 4차원은 어떤 의미일까? 먼저 차원은 공간에 있는 점을 나타내기 위해 필요한 변수의 개수를 말한다.

위와 같은 방법으로 4차원은 네 개의 실수(x, y, z, w)로 표현되는 공간이다. 그런데 우리는 3차원 공간에 살고 있기 때문에 4차원은 공간은 눈으로 확인할 수 없다. 따라서 수학자들은 3차원에서 기본이 되는 도형인 정육면체를 가지고 4차원에서는 어떤 모양이 되는지 연구했다. 그 결과 ‘초입방체’라는 도형을 만들어 냈다. 초입방체는 정육면체를 4차원 공간으로 확장시킨 도형으로, 정육면체처럼 서로 평행하거나 수직인 선분들로만 이루어져 있다.
 
초입방체는 어떤 모양일까?

정육면체가 정사각형으로 이루어진 도형이므로, 4차원 공간의 초입방체는 정육면체로 구성돼 있다는 것을 추측할 수 있다. 그러면 초입방체는 몇 개의 정육면체로 이루어져 있을까? 초입방체는 정육면체 8개로 이루어져 있다. 꼭짓점의 개수는 16개, 모서리의 개수는 32개, 면의 개수는 24개다. 따라서 초입방체의 전개도는 정육면체 8개를 붙여놓은 모양으로, 이 정사각형 6개가 십자가 모양으로 붙어 있는 정육면체 전개도와 비슷하다.

그런데 초입방체의 전개도는 달랑 1개일까? 정육면체 전개도도 11개나 되는데 말이다. 1985년 캐나다의 수학자 피터 터니는 초입방체의 전개도가 261개임을 밝혀 냈다. 그는 그래프이론에서 쓰이는 수형도를 이용해 전개도의 개수를 구했다. 수형도는 점과 선으로만 구성된 도형으로, 나뭇가지처럼 연결돼 있다. 수형도에선 점(V)과 선(E)의 개수가 V-E=1개다.

터니는 정육면체를 점으로 나타내고, 정육면체 2개가 붙어 있는 것을 선으로 나타내 초입방체 수형도를 그렸다. 그러면 점이 8개, 선이 7개가 된다. 그는 수형도를 이루는 조건에 따라 점 8개와 선 7개로 만들 수 있는 모든 수형도를 그린 뒤, 이것을 전개도로 나타냈다.


소마큐브 잘 하는 수학적인방법

영재교육원에서 인기 있는 큐브 퍼즐도 있다고?

이름이…, ‘소마큐브’? 어, 소마는 올더스 헉슬리의 소설<;멋진 신세계>;에서 나오는 중독성 강한 마약인데….

설마 퍼즐에 중독될 만큼 재미있는 거야? 그렇다면 이것도 놓칠 수 없지. 소마큐브 잘 하는 법도 함께 배워 보자고!


소마큐브의 경우의 수는 수학공식으로 못 구한다?!

소마큐브는 덴마크의 수학자 피에트 하인이 1933년 개발한 것으로, 3개 또는 4개의 정육면체로 이루어진 7개의 조각으로 다양한 모양을 만드는 퍼즐이다. 수학교과서에 나오는 수학교구인 쌓기나무와 그 생김새가 비슷하지만, 소마큐브는 정해진 모양이 있기 때문에 3×3×3 정육면체를 만드는 방법이 쌓기나무처럼 쉽지는 않다.

소마큐브를 이용해 3×3×3 정육면체를 만드는 방법의 수는 최근까지 240가지로 알려져 있었다. 그러나 2004년 미국의 컴퓨터 프로그래머 에드윈 해서웨이가 240가지에는 거울반사가 고려되지 않았다며, 정육면체를 만드는 가짓수는 240×2=480개라고 밝혔다.

거울반사는 거울에 비췄을 때 그 모습이 같은 것을 말한다. 소마큐브의 일곱조각 중에는 거울반사를 이루는 두 조각이 있다. 그런데 이 조각은 거울에 비췄을 때만 그 모습이 같을 뿐 절대로 같은 조각의 역할을 하지 못한다.

소마큐브를 이용해 3×3×3 정육면체를 만드는 경우의 수는 어떻게 구할수 있을까? 아직까지 경우의 수를 구하는 공식은 만들어지지 않았다. 소마큐브는 같은 조각이더라도 그 조각을 어떻게 놓는지에 따라 경우가 달라져 공식을 세우기 위한 조건이 매우 까다롭기 때문이다.

더욱이 고려해야 할 조각의 수가 7개나 되기 때문에, 공식을 세워 경우의 수를 구하는 것은 거의 불가능하다. 따라서 컴퓨터로 일일이 가능한 경우를 따져 보는 수밖에 없다. 해서웨이는 엑셀 프로그램을 이용해 정육면체를 만드는 480가지를 모두 만들었다.
 
소마큐브의 잘하는 방법은 포함배제!

공식은 없지만 소마큐브를 잘하는 수학적인 방법은 있다. 바로 포함배제 방법! 포함배제 방법은 어떤 도형을 만들 때 꼭 필요한 조각을 찾아 포함시키는 포함방법과, 절대로 필요하지 않은 조각을 찾아 빼는 배제방법을 말한다.

포함배제 방법으로 소마큐브를 맞추기 위해서는 먼저 소마큐브를 조건에 따라 분류해야 한다.


멩거스펀지의 겉넓이=0?

소마큐브에도 정말 재밌는 수학원리가 들어 있었군.
어? 그런데 저기 구멍 숭숭 뚫린 저건 뭐야?
설마 저것도 큐브는 아니겠지?
 
큐브 조각으로 이뤄진 멩거스펀지

스펀지는 구멍이 송송 뚫려 있어 푹신푹신하고 부드럽다. 또 물과 액체를 잘 빨아들여 목욕용이나 청소용 도구로 많이 쓴다. 그런데 스펀지 중에서도 작은 구멍이 많이 뚫린 스펀지가 촉감도 좋고 훨씬 잘 닦인다. 왜 그런 걸까?

그 이유는 구멍이 많이 뚫려 있을수록 물을 훨씬 잘 빨아들여 거품이 잘나고, 먼지나 때가 스펀지와 만나는 표면적이 넓어지기 때문이다. 구멍이 많을수록 표면적이 넓어진다는 사실은 멩거스펀지로 확인할 수 있다.

정육면체의 각 모서리를 3등분하여 27개의 작은 정육면체로 나누고, 원래의 정육면체 면의 가운데 있는 정육면체를 도려 낸다. 새로 생긴 작은 정육면체에 대해 앞에서 했던 과정을 무한히 반복하면 정육면체 내부에 크고 작은 정육면체 구멍이 뚫린 도형이 완성된다. 이것이 멩거스펀지다.

멩거스펀지는 오스트리아의 수학자 칼 멩거가 1926년 만든 도형으로, 표면적은 무한대(∞)이며, 부피는 0에 가까워진다. 어떻게 멩거스펀지의 표면적이 무한히 커지고 부피가 한없이 작아지는지 지금부터 수학적으로 따져 보자.
 
월-E에 나오는 큐브는 맞출 수 없다?!

휴~! 큐브와 소마큐브는 물론 4차원 큐브와 멩거스펀지까지, 이제 큐브의 모든 것을 알았어. 자, 그럼 이제 이브가 맞췄던 그 큐브에 도전해 볼까? 어라? 왜 안 맞춰지지? 뭐가 이상한데….

아하! 이 큐브는 초록색 모서리 큐브가 5개나 있잖아. 원래 같은 색인 모서리 큐브는 4개밖에 없는데 말야. 그러니까 이 큐브는 원래 나올 수 없는 모양이라구!

뭐야? 방금 온 이 메시지는? 악! 이브~, 진작 좀 말해 주지 그랬니? 응?