d라이브러리 2012년 01월 수학동아

내 이름은 노결정. 난 하루 종일 정말 피곤해. 왜냐구? 아침부터 저녁까지 고민이 끊이질 않거든. 일어나자마자 양치 먼저 할지 세수 먼저 할지 고민이 시작돼. 그리고는 두꺼운 옷을 입을지 얇은 옷을 입을지, 학교까지 버스를 타고 갈지 자전거를 타고 갈지, 간식으로 떡볶이를 먹을지 김밥을 먹을지 고민이 계속되지. 으…, 세상은 왜 이리 결정할 게 많은 거야?

08:00 두꺼운 외투, 입을까? 말까?

“오늘은 영하 1℃로 어제보다 기온은 올랐지만, 바람이 많이 불어 체감온도는 오히려 떨어질 전망입니다. 또한 감기기상지수도 높으니 두꺼운 외투를 챙기세요.”

오늘은 동아리 모임이 있어 학교 가는 날. 일기예보에서 기온이 올랐다니, 너무 두꺼운 옷을 입진 않아도 되나? 그런데 체감온도는 뭐지? 감기기상지수는 또 뭐고?

흠…, 그냥 기상캐스터 누나 말을 믿고 두꺼운 외투를 입어야 하나? 아! 고민돼!

추위의 정도를 정해 주는 체감온도

겨울에는 영하로 내려가는 낮은 기온과 쌩쌩 부는 강한 바람 때문에 매우 춥게 느껴진다. 하지만 추위의 정도는 기온이나 풍속 외에도 나이나 성별, 건강 상태 등에 따라 사람마다 다 다르게 느끼기 때문에 객관화 하기 어렵다.

지수란, 이런 주관적인 개념을 수치화해 측정할 수 있는 형태로 만든 것이다. 그리고 주관적인 추위의 느낌을 수치화한 지수가 바로 체감온도지수이다. 즉, 체감온도는 기온과 바람에 의해 느끼는 추위의 정도를 알기 쉽게 수치로 나타낸다.

체감온도를 구하는 데는 여러 계산식이 있지만, 우리나라에서는 2001년 캐나다와 미국에서 만든 JAG/TI 모델을 쓰고 있다. 연구팀은 실험에 참여하는 사람들의 얼굴에 센서를 붙이고 온도와 풍속에 변화를 주었을 때 피부 온도가 어떻게 변하는지를 측정했다. 이를 토대로 기온과 풍속의 변화에 따라 체감온도가 어떻게 변하는지 그래프로 나타낸 뒤, 그래프에 맞는 함수식을 구해 체감온도 공식을 만들었다.

체감온도는 바람이 강해질수록 계속 낮아진다. 강한 바람이 피부의 열손실량을 높여 체온을 떨어뜨리기 때문이다. 예를 들어 영하 10℃일 때 풍속이 5km/h이면 체감온도는 영하 13℃이지만, 풍속이 30km/h가 되면 체감온도는 영하 20℃까지 떨어진다.

감기 걸릴 가능성을 알려주는 감기기상지수

“감기기상지수라고? 칫, 그냥 재미로 보는 거지 뭐.”

노결정 군의 생각과 달리 감기기상지수는 매우 과학적이고 수학적으로 만들어졌다. 감기는 면역력이 떨어지거나 기온이 갑자기 떨어질 때, 건조하거나 일교차가 심할 때 주로 걸린다. 하지만 감기의 원인이 정확히 밝혀지지 않아 감기를 조심하려면 어떻게 할지 참고할만한 객관적인 자료가 없었다.

지난 해 기상청에서는 감기기상지수를 발표했다. 감기 환자수와 기상 요소 간의 관계를 통계적으로 분석해, 기상 조건에 따라 감기가 발생할 가능성을 지수화한 것이다.

그런데 우리는 머리가 아프거나, 코가 막히거나, 열이 나거나, 기침이 날 때 감기에 걸렸다고 말한다.

이렇듯 감기란 뇌졸중이나 위암처럼 하나의 질병을 지칭하는 말이 아니다. 따라서 감기와 기상 요소 간의 관계를 알아보기에 앞서 무엇을 감기라고 부를지 먼저 정의할 필요가 있다.

기상청에서는 의사 선생님들께 자문을 구해 질병 코드 J00~J06, J20, J21에 해당하는 급성 *상기도 감염, 급성 기관지염, 급성 세기관지염을 감기라고 정의했다. 감기를 정의한 후에 감기 환자 수와 기상 조건 간의 관계를 찾아내 감기기상지수를 구할 수 있었다.

*상기도 : 일반적으로 코와 구강에서 후두까지를 가리킨다.

10:00 하루 지난 빵, 먹을까? 말까?

체감온도와 감기기상지수를 참고해서 두꺼운 외투를 입고 학교에 왔더니 정말 춥지 않은 것 같아. 어? 그런데 책상 위에 내가 가장 좋아하는 빵이 있네? 어제 놓고 간 빵인 것 같은데….
겨울이니까 먹어도 괜찮겠지? 아냐, 요즘 실내 온도가 높아서 방치돼 있던 빵을 먹었다가 탈이라도 나면 큰일인데…. 아~, 또 고민돼!

식중독의 위험성을 경고하는 식중독지수

장마철처럼 온도와 습도가 높을 때는 식중독균이 번식하며 식중독이 잘 발생한다. 하지만 겨울이라도 실내 온도가 매우 높고 가습기 사용이 잦으면 식중독이 발생할 가능성이 있다.

식중독지수는 식품의약품안전청과 기상청이 공동으로 개발했다. 2004년부터 2006년까지 3년간 식중독이 발생한 지역의 온도와 습도, 일별 식중독 환자 발생 수 자료를 분석해 만든 지수로, 특정한 온도와 습도일 때 식중독이 발생할 확률을 알려 준다.

기상청 홈페이지에서는 3월부터 11월까지 전국 식중독지수를 공개한다. 지금은 식중독지수 서비스 기간이 아니지만, 직접 식중독지수를 구해 볼 수 있다.

우선, 공학계산기를 사용해 위의 공식에 온도와 습도 값을 넣으면 된다. 예를 들어 기온 28℃, 습도 70%일 때, 위의 공식을 이용하면 64.4가 나온다. 식중독지수는 그 값에 따라 관심, 주의, 경고, 위험 4단계로 구분되는데, 단계별로 음식이 몇 시간 내에 부패할지 예상 시간을 알려 줘 유용하다. 64.4는 경고 단계에 해당하며, 이는 음식이 4~6시간 내에 부패할 가능성이 높다는 의미다.

또한 온도와 습도에 따라 정리된 온도-습도 표만 봐도 식중독지수를 바로 확인할 수 있다. 식중독지수가 궁금한 친구는 수학동아 홈페이지 공지사항에서 ‘식중독지수 온도-습도 표’를 확인해 보자.

14:00 할머니 댁에는 언제 가는 게 좋을까?

식중독지수 덕분에 안전하게 빵도 먹고 기분이 좋아져서 동아리방으로 갔어. 친구들은 동아리 MT를 어디로 가면 좋을지 의논하고 있었지. 갑자기 며칠 전 강원도에 살고 계신 할머니의 전화가 떠올랐어.

“시골집을 멋진 펜션 형태로 다시 지었으니, 친구들과 놀러 오렴.”

친구들에게 얘기하자 다들 좋아했어. 그런데 언제 가는 게 좋을까? 요즘 강원도에 눈이 엄청 많이 내렸다던데…. 악! 난 다시 머릿속이 복잡해졌어.

농촌 안전 사고에 대비한 농업시설지수

뉴스를 보다 보면, 눈이 너무 많이 와서 축사가 무너졌다거나 바람이 세게 불어 비닐하우스가 날아갔다는 등 기상 조건으로 인한 농가 피해 보도를 종종 볼 수 있다. 기상청은 기상으로 인한 농업시설의 피해를 최소화하기 위해, 풍속, 신적설, 강수량과 같은 기상조건을 바탕으로 농업시설지수를 만들었다. 신적설이란, 정해진 시간 내에 쌓인 눈의 높이를 말한다.

농업시설지수는 나쁨, 보통, 좋음의 3단계로 구분된다. 풍속이 14m/s 이상이거나 하루 강수량이 80mm 이상, 또는 하루 신적설이 5cm 이상이면 나쁨으로 분류된다. 농업시설지수가 나쁠 때는 농업시설물의 피해가 예상되고, 피해가 커지지 않도록 대비해야 한다. 따라서 노결정 군과 친구들은 이런 때를 피해 할머니 댁에 가는 게 좋다.

또한 동상가능지수도 고려해야 한다. 할머니 댁은 시골이라 도시보다 겨울이 훨씬 매섭다. 따라서 아무리 두툼한 옷으로 무장 해도 오랜 시간 추위에 노출되면 동상에 걸릴 수도 있다.

동상가능지수는 최저 기온을 기준으로 낮음, 보통, 높음 3단계로 나뉜다. 동상에 걸릴 가능성은 최저기온이 영하 5℃ 미만일 때 높고, 영하 1.5℃ 이상일 때 낮다.

15:00 별별 지수가 다 있네?

우린 기상청 홈페이지를 통해 농업시설지수가 좋고, 동상가능지수가 낮은 날을 잡아 할머니께 허락을 받았어. 오호~, 감기기상지수나 식중독지수 등 각종 지수들 덕분에 내가 결정하는 게 쉬워졌잖아? 이런 고마운 지수를 만드는 원리는 뭘까?

별걸 다 정해 주는 회귀분석

지수는 ‘춥다, 감기에 걸릴 것 같다, 식중독에 걸릴 위험이 높다, 너무 더워서 불쾌하다’와 같은 주관적인 개념들을 객관적으로 측정할 수 있도록 수치화한 것이다. 이렇게 주관적인 개념들을 수치화하기 위해서는 통계의 여러 분석 방법들이 사용된다.

먼저 상관분석을 통해 두 인자가 서로 어떤 관련성을 갖고 있는지, 관련성은 얼마나 되는지 분석한다.

상관분석은 변수들 간에 관계가 있는지 따져 보는 통계 분석 방법의 하나로, 한 변수가 커릴 위험이 높다, 너무 더워서 불쾌하다’와 같은 주관적인 개념들을 객관적으로 측정할 수 있도록 수치화한 것이다. 이렇게 주관적인 개념들을 수치화하기 위해서는 통계의 여러 분석 방법들이 사용된다. 지거나 작아질 때 다른 변수는 어떻게 변하는지 그 변화의 정도와 방향을 살펴본다. 이 때 변인들의 관계의 정도나 강도를 나타내는 값을 상관계수라고 하고, 그 값에 따라 상관관계의 정도를 알 수 있다.

상관계수는 -1.00에서 +1.00 사이의 값을 갖는데, 0에 가까울수록 관련성이 낮고 절댓값이 1에 가까울수록 관련성이 높다. 이 때 +, - 부호는 관계의 방향을 가리킨다. 예를 들어 상관계수가 + 부호일 때는 하나의 변인이 증가하면 다른 변인도 증가하고, 하나의 변인이 감소하면 다른 하나도 감소한다. 반면 - 부호일 때는 하나의 변인이 감소하면 다른 하나는 증가하는 것처럼 반대로 움직인다.

이렇게 상관관계가 높은 변수를 뽑아낸 뒤에는 서로 상관 있는 요인들의 관계를 함수식으로 표시한다. 이를 ‘회귀분석’이라고 한다. 회귀분석은 어떤 변수가 변화할 때(독립변수) 다른 변수는 어떻게 변하는지(종속변수)를 함수식으로 만들고, 독립변수의 값에 따라 종속변수의 값을 예측하는 추측 통계의 한 분야다.

18:00 용돈을 많이 받을 수 있을까?

이제 고민도 한결 가벼워졌으니 할머니 댁에 갈 계획이나 세워야겠어. 음…, 그런데 할머니댁에 가려면 용돈이 부족하네…. 학원 가기 전에 엄마한테 용돈 얘기를 꺼내야겠어!

엄마한테 용돈 받은 지 며칠 안 돼서 또 받기 눈치 보이는데 어쩌지? 으…, 또 다른 고민이 시작됐어! 혹시 이런 고민에 도움되는 지수는 없나?

경제가 안정적인지 진단하는 물가지수

요즘 스마트폰 기본 요금은 보통 4만 5,000원 이상이고, 미용실에서 머리를 자르면 8,000원 이상 든다. 여러 상품들의 가격은 제각각이고, 기간에 따라 오르내린다. 따라서 하나의 상품만으로는 전반적인 상품 가격의 변화를 판단하기 어렵다. 물가지수란, 이런 물가의 변화를 알기 쉽게 수치화한 것이다. 기준시점의 물가수준에 대비해 비교시점의 물가수준의 비율로 나타내기 때문에, 기준 시점과 비교해 물가가 얼마나 올랐거나 내렸는지 알 수 있다.

물가수준은 여러 상품들의 가격을 평균한 종합적인 가격 수준으로, 생활에서 많이 거래되는 순서대로 가중치를 주고 이를 합산해 정한다. 예를 들어 2010 소비자물가지수에서 가중치가 가장 높은 건 전세값이다. 그 뒤를 이어 월세, 휘발유, 이동전화료 등이 줄을 잇는다. 물가지수는 생산자물가지수, 소비자물가지수, 수출입물가지수 등이 있는데, 우리는 물건을 주로 구매하기 때문에 소비자물가지수가 우리 생활과 관계가 깊다. 예를 들어 2010년의 소비자물가지수가 100일 때, 2011년 11월의 소비자물가지수는 104.8이었다. 이는 물가가 약 5% 오른 것을 뜻한다.

이렇게 물가가 오르면 살 수 있는 상품의 양이 줄어들어 돈의 가치가 떨어진다. 반대로 물가가 떨어지면 예전에 비해 더 많이 살 수 있어 돈의 가치가 증가한다. 이처럼 물가지수를 이용하면 물가 변화에 따른 돈의 가치를 측정할 수 있다.

소비자 물가와 심리도 지수로 표현한다

소비자물가지수는 서울을 비롯한 36개 주요 도시에서 소비자가 구입하는 상품이나 서비스의 가격변동을 보여 주는 지수다. 통계청에서 5년에 한 번씩 개편하는데, 지난 11월 2010 소비자물가지수가 새로 발표됐다. 소비자물가지수를 계산하기 위해 가격을 조사하는 품목은 5년마다 변화가 생긴다. 세월이 흐름에 따라 사회, 경제적 구조나 소비자의 기호가 변하고, 획기적인 신제품이 등장하기 때문이다.

예를 들어 요즘 공중전화 대신 대부분 스마트폰을 사용한다. 그래서 조사대상품목에서 공중전화 통화료가 빠지고, 스마트폰 이용료가 새로 추가됐다. 또한 가전제품을 렌탈해서 많이 쓰기 때문에 정수기 가격이 빠지는 대신, 가전제품렌탈비가 들어갔다. 이런 식으로 전자사전, 금반지 등 21개 품목이 빠지고, 게임기, 떡볶이, 삼각김밥 등 43개 품목이 추가됐다.

앞으로 경기에 대한 소비자들의 전망을 지수화한 소비자심리지수도 있다. 소비자심리지수는 한국은행이 현재 생활 형편, 가계 수입 전망, 소비 지출 계획 등 소비자의 심리를 판단하는 데 유용한 지수 6개를 선택해 만든 종합지수다. 최저 0에서 최고 200으로 구성돼 있는데, 100보다 높으면 앞으로 경기가 좋아질 것으로 기대하는 사람이 많은 것이고, 100보다 낮으면 경기가 나빠질 거라고 생각하는 사람이 많다는 걸 의미한다.

20:00 예쁜 걸까? 안 예쁜 걸까?

난 엄마께 소비자심리지수가 103을 넘었으니 경기가 좋아질 것이라고 생각하는 사람들이 많아진 거라고 설명을 했어. 그러자 엄마께서는 그런 것도 알고 기특하다며 특별 용돈을 주셨어.

헤헤, 지수 덕 좀 봤는데? 들뜬 마음으로 학원에 갔더니 내가 좋아하는 나예뻐가 보였어. 내 친구는 나예뻐가 정말 예쁘다고 하는데, 나는 나예뻐가 정말 예쁜 건지 아리송해. 으…, 또 고민이 시작됐어!

애매한 걸 정해 주는 수학, 퍼지이론

수학은 애매하고 불확실한 것과는 어울리지 않는 엄밀한 학문이다. 하지만 수학에도 애매한 걸 정해 주는 이론이 있다. 바로 퍼지이론! 퍼지란 ‘애매한, 불확실한’이라는 의미로, 인간의 불확실하고 애매한 표현을 기계가 처리할 수 있도록 돕는 수학 이론이다.

퍼지이론은 1965년 미국 캘리포니아 버클리대학의 자데 교수에 의해 소개됐다. 그런데 이 이론이 탄생한 이유로 재미있는 이야기가 전해진다. 자데 교수가 자신의 아내가 옆집 아주머니보다 훨씬 예쁘다는 걸 나타내기 위해 퍼지이론을 만들었다는 것이다.

실제로 우리 생활 속에는 ‘미인의 모임’, ‘키 큰 사람들의 모임’과 같은 애매한 모임이 많다. 하지만 미인은 매우 주관적인 개념이고, 키가 크다는 건 몇 cm부터인지 명확히 정의돼 있지 않다. 이런 모임은 기존의 집합으로는 정의할 수 없다. ‘남자의 집합’, ‘정수의 집합’처럼 소속이 확실한 것만 집합이라고 할 수 있기 때문이다.

하지만 자데 교수는 ‘아름다운 여성의 집합’, ‘키가 큰 사람의 집합’ 등 경계가 명확하지 않은 집합을 ‘퍼지집합’이라고 이름 붙였다. 퍼지집합에서는 ‘좋아한다, 좋아하지 않는다’ 처럼 소속 여부가 확실하지 않은 것도 ‘소속도’를 통해 집합으로 표현할 수 있게 했다.

예를 들어 기존의 집합에서는 값이 ‘1’ 이면 확실하게 그 집합에 속하고, ‘0’ 이면 확실하게 속하지 않는다. 하지만 퍼지집합에서는 0과 1뿐만 아니라, 0과 1 사이의 임의의 값을 원소로 가질 수 있다. 각 원소가 퍼지집합에 포함되는 정도인 소속도를 이용해 퍼지집합을 정의한 것이다.

퍼지이론으로 보는 외모 판별법

그럼 나예뻐가 예쁜지 혹은 예쁘지 않은지 퍼지이론으로 따져 보자. 노결정 군은 좋아하는 나예뻐 양의 외모에 대해 “그런대로 괜찮은 편”이라고 생각하고 있었다. 하지만 그런대로 괜찮은 외모를 예쁘다고 해야 할지, 안 예쁘다고 해야 할지 결정할 수가 없었다. 기존의 집합에서는 예쁘다=1, 안 예쁘다=0으로 '그런대로 괜찮다’는 정의할 수 없다. 하지만 퍼지집합 에서는 주관적인 개념 소속도를 정의할 수 있다.

각 평가들에 대해 0과 1사이의 소속도를 정해서 예쁜 집합에 속하는 정도를 수치로 표현하면 수학적인 연산을 할 수 있다. 이때 ‘그런대로 괜찮다’는 예쁜 집합에 포함돼 나예뻐는 예쁘다고 할 수 있다. 물론, 이 수치를 정하는 데 주관적인 기준이 들어가기 때문에 퍼지이론을 비판하는 수학자들도 있다. 하지만 퍼지이론은 애매한 개념을 수치화할 수 있다는 점에서 실제로 로봇이나 전자제품 등에서 유용하게 쓰인다.

23:00 행복도 지수로 정할 수 있다?

잠자리에 들면서 생각하니 오늘 하루는 정말 뿌듯했어. 예쁜 나예뻐랑 얘기도 많이 나누고, 다음 주면 넉넉한 용돈을 갖고 동아리 MT도 갈 수 있잖아!

아…, 정말 행복한 밤이야. 잠깐! 이 정도면 나 행복한 거 맞나?

행복도 수학으로 표현할 수 있다?

자신이 얼마나 행복한가를 측정할 수 있는 행복지수 중 가장 유명한 건 영국의 심리학자 로스웰이 개발한 행복지수다.

로스웰은 18년 동안 1,000명의 남녀를 대상으로 80가지 상황 중 나를 더 행복하게 만드는 5가지 상황을 고르게 하는 실험을 실시했다. 그 결과 인생관, 적응력, 유연성 등과 같은 개인적인 특성(P)과 건강, 돈, 인간관계처럼 생존 요소(E), 그리고 개인의 자존심이나 야망, 유머 등 고차원적인 욕구(H)가 행복을 결정하는 것으로 나타났다.

연구팀은 이 3가지 요소 중에서도 생존 조건(E)이 개인적 특성(P)보다 행복을 결정하는데 5배 더 중요하고, 고차원 상태(H)는 P보다 3배 더 중요하다고 분석했다. 이를 토대로 행복지수를 다음과 같이 공식화했다.

아래의 4가지 문항에 대해 0점에서 10점까지 자신이 생각하는 점수를 매기면 로스웰의 행복지수를 계산할 수 있다. 예를 들어 ➊번 8점, ➋번 7점, ➌번 6점, ➍번 5점일 경우, 행복지수 공식에 대입하면 나의 행복지수는 (8+7)+5×6+3×5=60(점)이다. 친구들과 행복지수를 구해 서로 비교해 보자.

한국인 맞춤 행복지수도 있다?

로스웰이 만든 행복지수 공식은 우리와 문화적 특성이나 가치관, 욕구가 다른 영국인을 대상으로 만든 지수라 한국인이 생각하는 행복과 다를 수 있다. 그래서 호서대학교 산업심리학과 김명소 교수는 한국인을 대상으로 행복하게 만드는 요인들에 대해 조사해 한국인 행복지수를 만들었다.(2006년)

연구팀은 행복의 의미와 행복한 삶의 척도에 관한 설문을 3차례 진행해, 행복요소 16개를 선정하고 각 요소들 간의 관계를 분석해 가중치를 구한 뒤 행복지수 공식을 개발했다. 김명소 교수의 행복지수는 생존 요소가 가장 중요한 로스웰의 행복지수와 달리, 성장에 대한 가중치가 가장 높다는 것이 특징이다.

편리한 생활지수부터 퍼지이론과 행복지수까지 알고 나니 내 고민은 싹~ 사라져 버렸어. 이제 결정 못할 게 없겠더라고! 이게 다 수학 덕분이니, 실생활과 전~혀 상관이 없다고 생각했던 수학이 새삼 대단해 보여! 별 걸 다 정해 주는 수학, 정말 고마워!

d라이브러리

별걸 다 정해 주는 수학 행복도 지수로 푼다!