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중·고교 교과과정의 수학을 넘어서지 않는 수준에서 해결할 수 있는 재미있는 수학 연구 주제들을 소개하고 있습니다. 참고서 등에서 다항식에 관한 문제들을 풀다 보면 정수의 나눗셈과 합동식 등에서 성립하는 사실들 중 많은 것들이 다항식에서도 성립하는 것 같다는 느낌을 갖게 되는데, 그러한 관찰을 구체적으로 확인하고 증명해보는 것이 이번 주제입니다. KAIST Cyber영재교육센터에서 2004년에 출제되었던 과제입니다.



문제 1

영다항식은 왜 차수를 정의하지 않는지에 대해 자신의 의견을 10줄 이내로 간단히 논하여라.

다항식은 정수와 비슷한 성질을 많이 갖는다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 할 수 있을 뿐만 아니라, 나눗셈을 하여 몫과 나머지를 구할 수도 있고 약식과 배식, 최대공약식과 최소공배식 등도 생각할 수 있으며, (잉여)합동식도 생각할 수 있다. 그에 관한 문제들을 다루어보자. 특별한 언급이 없으면 다항식의 계수는 실수를 범위로 한다.





문제 3

a, b, c, d는 모두 다항식이다. 다음을 풀어라.

(1) c|b, b|a이면 c|a임을 보여라.
(2) d|c, b|a이면 db|ca임을 보여라.
(3) b|a, a|b이면 적당한 상수 t에 대해 a=tb임을 보여라.
(4) b|a, a≠0이면 deg(b)≤deg(a)임을 보여라.
(5) 이외의 약수와 배수에 관한 성질을 또 한 가지만 찾아보아라.

힌트 정수의 약수와 배수에 관련한 성질과 그 증명을 참조하면 도움이 된다. 인터넷이나 책을 찾아보아도 좋다.

다항식 a, b, m에 대하여, m|a-b일 때 a≡b (mod m) 혹은 a(x)≡b(x) (mod m(x))로 나타내고,‘a와 b는 법 m으로 합동’이라고 한다. 아래의 문제들도 정수의 합동식에 관한 성질과 증명이 있는 자료를 참조해보면 문제푸는 데에 도움이 될 것이다.

문제 4

a, b, c, d, m은 모두 다항식이고, a≡b (mod m), c≡d (mod m)가 성립한다. 다음을 보여라.

(1) a+c≡b+d (mod m)
(2) ac≡bd (mod m)
(3) 임의의 다항식 p에 대해 다음이 성립함을 보여라. p°a≡p °b (mod m)
여기서 °는 함수의 합성을 뜻하고, 따라서 p(a(x))≡p(b(x)) (mod m(x))임을 보이라는 것과 같다.

다항식의 합동식을 이용하면 다항식의 나눗셈과 관련한 일부 문제들을 고등학교에서 배우는 방법만을이용하는 것보다 좀 더 쉽게 풀 수 있다.



문제 7

두 다항식 a, b의 최대공약식이 d일 때, d=at+bu를 만족시키는 다항식 t, u가 항상 존재하는가? 참이라면 그것을 증명하고, 거짓이라면 a, b의 반례를 들어 그 경우의 t, u가 존재하지 않음을 설명하여라.

문제 8

다음 두 문제 중 자신 있는 것 하나를 골라 풀어라.

(1) 정수에서 최대공약수는 모든 공약수의 배수가 되는 성질을 갖는다. 이것은 다항식에서도 성립한다. 즉, 최대공약식은 모든 공약식의 배식임을 증명하여라. 마찬가지로, 최소공배식은 모든 공배식의
약식임도 설명하여라.

(2) 정수에서 두 수를 A, B라 하고 최대공약수, 최소공배수를 각각 G, L이라 하면 AB = GL이 성립한다. 다항식에서도 이와 비슷한 것이 성립하는지 어떤지 말하고, 그것을 증명하여라.