d라이브러리

수학올림피아드 문제에는 크게 세 종류가 있습니다. 재미있는 문제와 그저 그런 문제와 재미없는 문제가 있는 거지요. 싱거웠나요? 그렇지만, 학자의 가장 중요한 자질 중의 한 가지가 호기심인 이상, 어떤 문제 또는 주제가 재미가 있느냐 없느냐는 생각보다 중요합니다.
여기서 그런 재미있는 문제들을 조금씩 소개하려고 합니다. 특히 도시대항 국제수학토너먼트(TOT)에 한국이 참가하게 된 기념으로, 그 역대 문제들을 자주 소개하겠습니다.


TOT 1995 가을 중등부 O레벨 1번

평면에 정사각형이 있고 보이지 않는 잉크로 한 점 P가 표시돼 있다. 이 점은 특수 안경을 낀 미선이만 볼 수 있다. 직선을 그리면 미선이가 그 직선에 대해 점 P가 어느 쪽 영역에 있는지를 알려준다. 점이 직선 위에 있다면 그렇다고 말한다. 점 P가 주어진 정사각형의 안에 있는지를 알아내려면 직선을 최소 몇 개 그려야 하는가?
 

스무고개와 기하학의 미스터리한 만남이라는 느낌이랄까…. 흥미로운 문제지요? 우선 알 수 있는 것은 직선을 4개 그리면 틀림없이 성공한다는 것이지요. 주어진 정사각형의 네 변을 연장한 직선들을 그리면 되니까요. 따라서 정답은 4개이거나 그보다 작은 값입니다.

다음으로 알 수 있는 것은 직선 2개로는 틀림없이 실패한다는 것입니다. 직선을 2개 그리면 평면은 네 영역으로 분할되는데, 미선은 이 넷 중 어느 영역에 점이 있는지만을 알려주게 됩니다. 넷 중에 어느 영역이든지 정사각형보다 훨씬 넓은 무한한 영역이니까 이 영역에 점이 있다는 것만으로는 주어진 정사각형 안에 점이 있어도 그것을 확신할 수 없지요. 따라서 정답은 2개 이하일 수 없고, 그럼 3개 아니면 4개가 정답일 것입니다.

즉,‘3개의 직선을 그려서 알아내는 방법이 있는가 아니면 없는가’하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 3개로도 방법이 없다면 그런 방법이 없음을 논리적으로 확실히 설명해야 하기 때문에 어려운 문제가 되겠지만, 다행히 3개의 직선이면 이 문제가 해결된답니다.
 

아래의 풀이를 읽기 전에 여러분이 먼저 한번 그 방법이 무엇일까 곰곰이 생각해보세요. 생각해보니 방법을 찾을 수 있었나요, 아니면 찾지 못했나요? 이제 풀이를 확인해볼까요?


고봉균 선생님의 풀이
 

3개의 직선을 그리면 알아낼 수 있다. 먼저 주어진 정사각형의 한 대각선을 연장한 직선을 그린다. 그러면 미선이가 그 대각선에 대해 어느 쪽에 점이 있는지 알려줄 것이다. 이제 정사각형 안에 점이 있느냐 하는 것은 이 대각선에 의해 정사각형을 반으로 나눈 한 쪽 삼각형 영역에 점이 있느냐 하는 문제가 된다. 따라서 그 삼각형의 나머지 두 변을 연장한 두 직선에 대해 물어보면 된다.

직선이 2개이면 나뉜 네 영역이 모두 무한영역이라서, 미선이가 알려준 영역에 정사각형의 전부 또는 일부가 포함될 때 이 점이 정사각형 안에 있는 것도 밖에 있는 것도 다 가능하니까, 2개로는 불가능하다. 따라서 정답은 3개다.

멋진 방법이었지요? 다음 호에서도 또 다른 낭만을 만나보기로 해요.