2010년 남아공 월드컵의 공인구의 이름은 자불라니였어요. 처음에는 역대 축구공 중에 가장 구 모양에 가깝다는 칭찬이 자자했어요. 하지만 선수들에게는 ‘자불라니(잡으려니) 잘 안 잡히네’라는 말이 나올 만큼 불만이 많았던 공이었죠. 오늘 선생님과 함께 입체도형을 공부하면서 더 좋은 축구공을 상상해 보도록 해요.
●같은 정다각형이 모였다
선생님 : 평면을 빈틈없이 메울 수 있는 도형에 대해 배운 거 기억하나요?
소망 : 정삼각형과 정사각형, 정육각형이 가능했어요.
사랑 : 정삼각형은 한 내각이 60°니까 6개의 정삼각형이 한 꼭짓점에 모여야 하고, 정사각형은 한 내각이 90°니까 한 꼭짓점에 4개, 정육각형은 한 내각이 120°니까 3개가 모여야 했어요.
선생님 : 소망이와 사랑이가 잘 알고 있네요. 이번 시간에는 이 도형으로 입체도형을 만들어 볼 거예요. 자~, 정삼각형으로는 입체도형을 어떻게 만들 수 있을까요?
기쁨 : 우선 정삼각형이 6개가 모이면 입체를 만들 수 없어요. 60°씩 6개면 평면이 되거든요. 정삼각형으로 입체도형을 만들려면 6개보다는 적어야 할 것 같아요.
소망 : 음…, 정삼각형 2개만 가지고는 입체가 불가능해요. 3개는 있어야 입체를 만들 수 있어요. 결국 입체도형을 만들려면 정삼각형 3개 또는 4개, 5개가 한 꼭짓점에 모여야 되겠네요.
선생님 : 참 잘했어요. 그럼 정사각형의 경우는 어떨까요?
사랑 : 정삼각형과 비교해 보면 4개보다는 적고 2개보다는 많아야 해요. 그럼 한 꼭짓점에 모일 수 있는 정사각형의 개수는 3개밖에 없는데 그게 바로 정육면체네요.
선생님 : 아주 좋아요. 그렇다면 정육각형으로 만들 수 있는 입체도형도 있을까요?
소망 : 입체가 되려면 2개보다 많아야 하는데 정육각형은 3개만 모여도 이미 평면이 돼버려요. 정육각형만으로 만들 수 있는 입체도형은 없는 것 같아요.
선생님 : 소망이가 오늘 배울 내용을 미리 다 말해 줬네요. 방금 정육각형만으로는 입체도형을 만들 수 없다는 걸 알았어요. 그럼 정삼각형과 정사각형 말고 입체도형을 만들 수 있는 정다각형은 없는 걸까요?
사랑 : 정오각형으로 가능할 거 같아요. 정오각형만으로 평면을 빈틈없이 메울 수 없는 이유가 남는 각이 있기 때문이잖아요. 남는 각만큼 정오각형을 굽히면 입체도형을 만들 수 있을 거예요.
선생님 : 정확한 생각이에요. 그럼 정오각형 몇 개가 한 꼭짓점에 모일 수 있을까요?
기쁨 : 3개보다 많으면 360°를 넘으니까, 딱 3개가 모일 때만 가능해요.
선생님 : 그렇죠. 그럼 이렇게 만든 정다면체는 면이 모두 몇 개일까요?
사랑 : 좀 어렵긴 한데…. 아! 알아 냈어요. 면이 모두 12개네요. 정오각형의 면이 12개니까 정십이면체라고 해야겠네요.
선생님 : 아주 잘했어요. 이 밖에도 다른 정다면체가 또 있을까요?
사랑 : 지금까지 따져 본 걸 생각하면 더 이상 다른 정다면체는 없는 것 같아요.
선생님 : 맞았어요. 정다면체는 다섯 개가 전부랍니다.
●가장 둥근 정다면체는 정십이면체
선생님 : 다섯 가지 정다면체 중에서 축구공으로 써도 좋을 만큼 구에 가까운 것은 무엇일까요?
사랑 : 아무래도 면의 수가 가장 많은 정이십면체가 아닐까요?
기쁨 : 흠…, 그냥 보기에 정이십면체는 끝이 너무 뾰족해서 잘 구르지 않을 것 같아요. 오히려 정십이면체가 공으로 쓰기엔 더 좋아 보이는데요.
선생님 : 그럼 한 꼭짓점에 모인 각의 크기를 비교해 봐요. 각의 크기가 어떨 때 구에 가깝다고 할 수 있을까요?
소망 : 크기가 클수록 구에 가깝겠지요.
선생님 : 그렇죠. 이렇게 한 꼭짓점에 모인 각의 크기를 입체각이라고 해요. 다음 정사각뿔의 동그랗게 표시한 부분의 입체각이 얼마인지 알아봐요.
사랑 : 입체각은 정삼각형 2개와 정사각형 1개가 모인 것이므로 60°+60°+90°=210°예요.
선생님 : 그럼 정사각뿔의 꼭짓점의 입체각은 얼마인가요?
기쁨 : 정삼각형 4개가 모였으니까 60°×4=240°예요.
선생님 : 정사각뿔은 정다면체인가요?
소망 : 아니요. 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형으로 이뤄져야 하는데, 정사각뿔은 정삼각형과 정사각형이 쓰였으니까 정다면체가 아니에요. 선생님, 갑자기 궁금한 게 생겼어요. 정다면체는 각 꼭짓점의 입체각이 모두 같은가요?
선생님 : 같이 알아봐요. 정사각뿔 2개를 밑면이 서로 맞닿게 붙이면 정팔면체가 돼요. 이때 6개의 꼭짓점에서의 입체각을 모두 구해 봐요.
기쁨 : 선생님, 모두 구해 볼 필요도 없어요. 정다면체는 한 꼭짓점에 모이는 다각형의 종류와 개수가 모두 같은걸요. 그러니 당연히 입체각도 모두 같을 거라고요.
선생님 : 하하, 이번에는 기쁨이가 정확하게 맞혔네요. 다음 정다면체의 입체각을 구해 보도록 해요.
소망 : 입체각을 모두 구해 보니 기쁨이 말이 맞았어요. 사랑이는 면의 수가 많은 정이십면체가 구에 가장 가까울 거라 생각했지만, 정십이면체가 입체각이 더 커서 가장 둥글겠네요.
●자연을 닮은 정다면체
선생님 : 그래요. 하지만 고대 그리스의 수학자들도 사랑이처럼 면이 많은 정이십면체가 가장 둥글 거라고 생각했어요. 플라톤은 정이십면체를 둥글둥글 유동성이 있는 물에 비유했거든요.
사랑 : 물이라고요? 그럼 다른 정다면체도 자연에 비유해서 생각했다는 말씀이세요?
선생님 : 그렇답니다. 왼쪽의 정다면체를 어울리는 성질의 자연과 연결해 봐요.
선생님 : 정다면체는 입체도형 중에서 가장 아름답다고 할 수 있어요. 어느 방향에서 봐도 모양이 같고, 완벽한 대칭 구조를 가지고 있기 때문이죠. 앞으로 입체도형을 열심히 연구해서 차세대 월드컵 공인구는 우리 친구들 손에서 탄생하길 기대해 볼게요.
