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자연계 논술 문항은 모두 교과 과정과 관련돼있다. 하지만‘교과 과정과의 관련성’이곧‘교과 주제’를 의미하지는 않는다. 기출 문제 중에는교과서 수준을 넘어서는 경우가 많기 때문이다.
따라서자연계논술을준비하는수험생들은‘교과와 관련될수 있는주제’라면 주제 자체가‘교과 과정을 넘어서는것’이라도 언제든지 논술주제로서 출제 가능하다고 봐야한다. 교과 과정밖의 주제는 관련성을잘 파악한다면, 교과 주제문제보다 더 쉽게 해결할수 있다. 교과밖 주제를 시사적이거나 최신 과학과 관련된 대주제 위주로 그 리스트를 정리해 보면 아래 표와 같다.
이번호에서는 수학의 기하학과 관련 깊은 프랙탈에 대해서 공부해보자.
<사례 1> 프랙탈의 대표주자 : 코흐곡선
(가) 수학에서 차원(次元)은 공간내에 위치한 점, 면등의 위치를 나타내기 위해 필요한 독립된 변수 또는 독립된 좌표의 개수를 말한다. 좌표계를 통해 직선 위의 점은 하나의 실수 x로, 평면 위의 점은 두 실수의 쌍인( x, y)로, 공간의 점은 세 실수의 짝인( x, y, z)로 각각 표시된다. 즉, 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원이 됨을 의미한다.
(나) 프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 의미한다. 용어에서도알수 있듯이 프랙탈(fractal)에서는 특정‘조각’의 모양이 스케일의 변화에도 불구하고 유지돼 나타난다. 그래서 부분과 전체가 유사하다는‘자기유사성’(self-similarity)과‘순환성’(recursiveness)이라는 속성으로 대표되기도 한다.
또한 프랙탈은 카오스 이론을 기하학적으로 표현하는 구조이기도 하다. 프랙탈 구조 중 가장 간단하면서 유명한 예는 코흐곡선이다.
프랙탈 도형에서 최초의 직선이나 도형을‘창시자’(initiator)라고 부른다. 이 창시자 선분의 1/3에 해당하는 가운데 부분을 같은 길이를 가진 두 개의 선분으로 대치해 생긴 도형은‘생성자’(generator)라고 한다. 이 생성자를 어떻게 반복하느냐에 따라서 조금씩 다른 프랙탈 도형들이 생성된다.
코흐곡선은 위의 규칙이 무한히 반복되는 프랙탈 도형이다. 그런데 코흐곡선은 유한한 영역내에 존재하지만 그 길이가 무한대이기 때문에 1차원 도형인 일반 곡선과 다르다. 일반적인 곡선보다는 복잡하므로 1차원을 넘는다고 쉽게 예상할 수 있지만, 면적이 존재하는 것은 아니므로 2차원보다는 작은 것이다. 계산에 의하면 코
흐곡선의 차원은 대략 1.26으로 나타난다.
(다) 1차원 선분의 경우, 똑같은 크기로 2개의 조각을 내면, 원래 크기의 1/2인 조각이 2개 생긴다. 2차원 정사각형의 경우는 똑같은 크기의 4개의 정사각형으로 분할할 때, 원래크기(길이 측면에서)의 1/2인 분할 전과 모양이 같은 도형이 4개 생긴다. 3차원 정육면체의 경우에는 똑같은 8개로 분할을 하면, 원래크기의 2인 분할 전과 모양이 같은 도형이 8개가 생긴다. 이런 원리로 프랙탈 차원을 정의할 수 있다.
(라) 영국 해안선의 길이는 얼마인가?
해안선의 길이는 측정하는 상황에 따라 크게달라진다. 해안선의 수많은 굴곡, 강, 바위들을생각해보자. 긴 측량단위에서는 이들의 굴곡이 무시되지만 이보다 짧은 측량단위에서는 구부러진 형태들이 고려되기 때문에 전체 길이가 증가할 것이다.
[논제 1] 제시문(나)에서 코흐곡선의 길이를 구하는 방법을 설명하시오.
전문가 클리닉 [논제 1]은 논술 특유의 고난이도 문제라기보다는 기본 점수가 가능한 수능정도의 문제라할 수 있다. 실제 수능에서 비슷한 문제가 나왔으며 정리해두면 논술과 수능에서 시너지 효과를볼 수 있을 것이다. 등비수열(무한등비수열)과 관련이 깊다는 것을 생각하면서 제시문 (나)의 코흐곡선은 과정이 무한히 반복됨을 잊지 말아야 한다.
예시답안
제시문(나)에 따르면 코흐곡 선은 하나의 선분을 삼등분해 얻어진 가운데선 분을 크기가 같은 2개로 대치하고, 이 과정을 모든 선분에 무한히 반복해서 만들수 있다. 이 결과 각 단계에서 다음 단계로 이행할때마다 선분의 길이가 4/3씩 증가한다. 맨 처음0단계 선분의 길이를 l0라 하면각 단계에서의 코흐곡선 길이는 다음과 같이 정리할 수 있다.
[논제2] 제시문(다)의 내용으로 새롭게 도입해야 되는 차원의 개념을 추정해서, 코흐곡선의 차원을 설명하시오.
전문가 클리닉
어려운 논제다. 제시문 (다)를 읽고 바로 이해가 되지 않는다면 제시문에 담긴 내용을 실행해보자.‘일반화’를 위해서는‘구체화’과정을 거치는 것도 좋은 방법이다.
예시답안
제시문(다)의 내용을 정리하 면 다음과 같다.
[논제3] 제시문 (가), (나), (다)를 참고해, (라)의 질문에 대한 답변을 정리하시오.
전문가 클리닉
단순하게 해안선의길 이를 물어보는 것이 아니므로, 출제자의 의도를 제대로 파악해 원하는 답변을 하도록 하자. 제시문 전체를 관통하면서 해안선이 갖는 특성을 담은 결론을 내도록 한다.
예시답안
제시문 (나)에 의하면 프랙탈이 되기 위해서는 두 가지 성질을 만족해야 된다. 하나는 부분이 전체를 닮는‘자기유사성’이고, 다른 하나는 이런 자기 유사성이 반복적으로 나타 나는‘순환성’이다.
전체적으로 울퉁불퉁한 해안선의 굴곡을 확대하면 이전까지 보이지 않던 세세한 굴곡이 드러나는데 이는 해안선이 자기유사성을 가졌음을 나타낸다. 또 스케일을 확대하더라도 굴곡이 지속적으로 확인되므로‘순환성 ’도 갖췄다. 비록 그 닮음의 완벽성이나 반복의 지속성이 이론적인 프랙탈 도형과 완전히 일치하지는 않지만 이 두가지 특징으로 인해 해안선은 프랙탈이라고 볼 수 있다.
해안선은 측정하는 단위가 작아질수록 그 길이가 증가한다. 측정 단위보다 작아서 무시되었던 굴곡이 단위가 작아지면서 더이상 무시할 수 없는 크기로 나타나기 때문이다. 따라서 해안선의 길이는 측량단위를 언급하지 않고서는 특정지어서 말할 수 없다.
심화학습
문제에서 언급된 해안선은 멘델브로의 연구에의 해서 대략 1.26차원 정도가 되는 것으로 밝혀졌다 (물론 해안선의 특성에따라서 달라진다). 실제로 해안선은 랜덤코흐곡선에 의해서 구현되기도 한다. 랜덤코흐곡선은 코흐곡선을 만드는 과정과 유사하지만, 가운데 제거된 선분이 두 개의 선분으로 구현 될 때 그 방향이 임의로 생기는 것만 다르다(<그림 1> 참고).
해안선 외에도 프랙탈 구조를 적용해 설명할 수 있는 자연계 현상이 많다. 가장 대표적인 예로 나무(<그림 2> 참고)와 소장의 융털, 허파의 폐포가 있다. 이들은 작은공 간에 표면적을 최대한 확보하기 위해 프랙탈 구조를 활용하고 있다. 덕분에 소장은 길이가 <그림 2> 생각의 나무 7m 정도 밖에 되지 않지만 대략 200m2의 면적을 갖고, 폐포는 대략 160m2의 표면적을 갖는다. 참고로 인간의 평균적인 피부 면적은 2m2이다.
따라서자연계논술을준비하는수험생들은‘교과와 관련될수 있는주제’라면 주제 자체가‘교과 과정을 넘어서는것’이라도 언제든지 논술주제로서 출제 가능하다고 봐야한다. 교과 과정밖의 주제는 관련성을잘 파악한다면, 교과 주제문제보다 더 쉽게 해결할수 있다. 교과밖 주제를 시사적이거나 최신 과학과 관련된 대주제 위주로 그 리스트를 정리해 보면 아래 표와 같다.
이번호에서는 수학의 기하학과 관련 깊은 프랙탈에 대해서 공부해보자.
<사례 1> 프랙탈의 대표주자 : 코흐곡선
(가) 수학에서 차원(次元)은 공간내에 위치한 점, 면등의 위치를 나타내기 위해 필요한 독립된 변수 또는 독립된 좌표의 개수를 말한다. 좌표계를 통해 직선 위의 점은 하나의 실수 x로, 평면 위의 점은 두 실수의 쌍인( x, y)로, 공간의 점은 세 실수의 짝인( x, y, z)로 각각 표시된다. 즉, 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원이 됨을 의미한다.
(나) 프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 의미한다. 용어에서도알수 있듯이 프랙탈(fractal)에서는 특정‘조각’의 모양이 스케일의 변화에도 불구하고 유지돼 나타난다. 그래서 부분과 전체가 유사하다는‘자기유사성’(self-similarity)과‘순환성’(recursiveness)이라는 속성으로 대표되기도 한다.
또한 프랙탈은 카오스 이론을 기하학적으로 표현하는 구조이기도 하다. 프랙탈 구조 중 가장 간단하면서 유명한 예는 코흐곡선이다.
프랙탈 도형에서 최초의 직선이나 도형을‘창시자’(initiator)라고 부른다. 이 창시자 선분의 1/3에 해당하는 가운데 부분을 같은 길이를 가진 두 개의 선분으로 대치해 생긴 도형은‘생성자’(generator)라고 한다. 이 생성자를 어떻게 반복하느냐에 따라서 조금씩 다른 프랙탈 도형들이 생성된다.
코흐곡선은 위의 규칙이 무한히 반복되는 프랙탈 도형이다. 그런데 코흐곡선은 유한한 영역내에 존재하지만 그 길이가 무한대이기 때문에 1차원 도형인 일반 곡선과 다르다. 일반적인 곡선보다는 복잡하므로 1차원을 넘는다고 쉽게 예상할 수 있지만, 면적이 존재하는 것은 아니므로 2차원보다는 작은 것이다. 계산에 의하면 코
흐곡선의 차원은 대략 1.26으로 나타난다.
(다) 1차원 선분의 경우, 똑같은 크기로 2개의 조각을 내면, 원래 크기의 1/2인 조각이 2개 생긴다. 2차원 정사각형의 경우는 똑같은 크기의 4개의 정사각형으로 분할할 때, 원래크기(길이 측면에서)의 1/2인 분할 전과 모양이 같은 도형이 4개 생긴다. 3차원 정육면체의 경우에는 똑같은 8개로 분할을 하면, 원래크기의 2인 분할 전과 모양이 같은 도형이 8개가 생긴다. 이런 원리로 프랙탈 차원을 정의할 수 있다.
(라) 영국 해안선의 길이는 얼마인가?
해안선의 길이는 측정하는 상황에 따라 크게달라진다. 해안선의 수많은 굴곡, 강, 바위들을생각해보자. 긴 측량단위에서는 이들의 굴곡이 무시되지만 이보다 짧은 측량단위에서는 구부러진 형태들이 고려되기 때문에 전체 길이가 증가할 것이다.
[논제 1] 제시문(나)에서 코흐곡선의 길이를 구하는 방법을 설명하시오.
전문가 클리닉 [논제 1]은 논술 특유의 고난이도 문제라기보다는 기본 점수가 가능한 수능정도의 문제라할 수 있다. 실제 수능에서 비슷한 문제가 나왔으며 정리해두면 논술과 수능에서 시너지 효과를볼 수 있을 것이다. 등비수열(무한등비수열)과 관련이 깊다는 것을 생각하면서 제시문 (나)의 코흐곡선은 과정이 무한히 반복됨을 잊지 말아야 한다.
예시답안
제시문(나)에 따르면 코흐곡 선은 하나의 선분을 삼등분해 얻어진 가운데선 분을 크기가 같은 2개로 대치하고, 이 과정을 모든 선분에 무한히 반복해서 만들수 있다. 이 결과 각 단계에서 다음 단계로 이행할때마다 선분의 길이가 4/3씩 증가한다. 맨 처음0단계 선분의 길이를 l0라 하면각 단계에서의 코흐곡선 길이는 다음과 같이 정리할 수 있다.
[논제2] 제시문(다)의 내용으로 새롭게 도입해야 되는 차원의 개념을 추정해서, 코흐곡선의 차원을 설명하시오.
전문가 클리닉
어려운 논제다. 제시문 (다)를 읽고 바로 이해가 되지 않는다면 제시문에 담긴 내용을 실행해보자.‘일반화’를 위해서는‘구체화’과정을 거치는 것도 좋은 방법이다.
예시답안
제시문(다)의 내용을 정리하 면 다음과 같다.
[논제3] 제시문 (가), (나), (다)를 참고해, (라)의 질문에 대한 답변을 정리하시오.
전문가 클리닉
단순하게 해안선의길 이를 물어보는 것이 아니므로, 출제자의 의도를 제대로 파악해 원하는 답변을 하도록 하자. 제시문 전체를 관통하면서 해안선이 갖는 특성을 담은 결론을 내도록 한다.
예시답안
제시문 (나)에 의하면 프랙탈이 되기 위해서는 두 가지 성질을 만족해야 된다. 하나는 부분이 전체를 닮는‘자기유사성’이고, 다른 하나는 이런 자기 유사성이 반복적으로 나타 나는‘순환성’이다.
전체적으로 울퉁불퉁한 해안선의 굴곡을 확대하면 이전까지 보이지 않던 세세한 굴곡이 드러나는데 이는 해안선이 자기유사성을 가졌음을 나타낸다. 또 스케일을 확대하더라도 굴곡이 지속적으로 확인되므로‘순환성 ’도 갖췄다. 비록 그 닮음의 완벽성이나 반복의 지속성이 이론적인 프랙탈 도형과 완전히 일치하지는 않지만 이 두가지 특징으로 인해 해안선은 프랙탈이라고 볼 수 있다.
해안선은 측정하는 단위가 작아질수록 그 길이가 증가한다. 측정 단위보다 작아서 무시되었던 굴곡이 단위가 작아지면서 더이상 무시할 수 없는 크기로 나타나기 때문이다. 따라서 해안선의 길이는 측량단위를 언급하지 않고서는 특정지어서 말할 수 없다.
심화학습
문제에서 언급된 해안선은 멘델브로의 연구에의 해서 대략 1.26차원 정도가 되는 것으로 밝혀졌다 (물론 해안선의 특성에따라서 달라진다). 실제로 해안선은 랜덤코흐곡선에 의해서 구현되기도 한다. 랜덤코흐곡선은 코흐곡선을 만드는 과정과 유사하지만, 가운데 제거된 선분이 두 개의 선분으로 구현 될 때 그 방향이 임의로 생기는 것만 다르다(<그림 1> 참고).
해안선 외에도 프랙탈 구조를 적용해 설명할 수 있는 자연계 현상이 많다. 가장 대표적인 예로 나무(<그림 2> 참고)와 소장의 융털, 허파의 폐포가 있다. 이들은 작은공 간에 표면적을 최대한 확보하기 위해 프랙탈 구조를 활용하고 있다. 덕분에 소장은 길이가 <그림 2> 생각의 나무 7m 정도 밖에 되지 않지만 대략 200m2의 면적을 갖고, 폐포는 대략 160m2의 표면적을 갖는다. 참고로 인간의 평균적인 피부 면적은 2m2이다. 
