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서울대 수학과를 졸업하고 대치유레카와 압구정 이룸스터디에서 심층면접과 수리논술을 가르치고 있다. 수학의 재미를 학생들에게 전달하기 위해 재미있고 창의적인 논구술 문제를 개발하는데 집중하고 있다.
수열의 나열순서를 바꾸면 수열의 수령 여부가 바뀌는지 알아보자.
적분을 이용하면 무한급수의 수렴과 발산 여부를 판정할 수 있다.
이를 적분판정법이라 부른다.
Q1다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 유클리드는 ‘자명하다고 생각되는 명제, 즉 증명할 필요 없이 명확한 명제’ 중에서 기하학에서만 사용하는 명제를 공준이라고 하고 기하학에 한정되지 않은 일반적인 명제를 공리라고 했다.
그 뒤에 유클리드가 말한 공준과 공리를 통일해 공리라고 규정했다. 유클리드의 ‘기하학원본’에서는 공리와 정의를 이용해 기하학을 논리적으로 증명했다. 이것은 오랫동안 체계적인 학문의 전형처럼 여겨졌다.
(나) 실수는 체의 공리, 순서의 공리, 완비성 공리라는 세 가지 특성을 만족하는데, 그 중 완비성 공리는 극한과 관련해 중요한 의미를 가진다. 실수의 완비성 공리는 실수에는 빈틈이 없다는 뜻이다. 유리수의 경우 아주 작은 구간에 무수히 많은 유리수가 존재하지만 그들 사이에는 무리수라는 무수히 많은 빈틈이 존재한다. 하지만 이런 빈틈이 실수에는 존재하지 않는다. 실수의 완비성 공리를 수열을 이용해 설명하면 ‘실수로 이뤄진 증가하는 수열의 각 항이 일정한 실수보다 작으면 그 수열은 수렴한다’이다.
(다) 유한수열 1, 2, 3, 4는 2, 4, 3, 1과 같은 식으로 나열하는 순서를 바꿀 수 있는데 이를 수열의 재배열이라 한다. 일반적으로 무한수열 an은 일대일대응 r:N→N을 이용해 bn=ar(n) 이라 할 때 {bn}으로 재배열한다. 예를 들어 수열 1, -1/2, 1/3, -1/4, ...는 일대일대응
r(n)= n-1, n이 짝수일 때
n+1, n이 홀수일 때
에 의해 -1/2, 1, -1/4, 1/3, ...로 재배열된다.
유한수열은 재배열해도 원소의 총합이 바뀌지 않는다. 그러나 무한수열은 재배열을 통해 수열의 총합이 바뀔 뿐만 아니라 수렴하던 수열이 발산하거나 발산하던 수열이 수렴할 수 있다. 이때 N은 자연수 전체의 집합이다.
전문가 클리닉
실수의 완비성 공리는 고교과정은 아니지만 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 논술문제에서 자주 등장하고 있습니다. 수열의 수렴 판정에서 중요하므로 꼭 알아두기 바랍니다.
논제 1은 완비성 공리를 이용하면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 하지만 답안을 제대로 서술하려면 추가적인 아이디어가 필요합니다. 논제 2는 무작정 식을 정리해 풀려고 하면 실패하기 쉽습니다. 문제 풀이에는 두 단계가 있는데, 첫 단계에서는 직관과 경험을 이용해 문제의 흐름을 파악해야 합니다.
Q2다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
전문가 클리닉
1) 논제 1은 적분판정법을 증명하는 문제로 완비성 공리를 사용하는데 익숙해졌다면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 논제 2는 적분판정법의 응용 문제로 로그함수가 합성돼 있으므로 치환을 두 번 해주어야 합니다. 논제 3은 적분판정법에서 사용하는 구분구적법의 아이디어를 응용한 문제입니다. 적분판정법으로 무한급수의 정확한 값을 구할 수는 없지만 함수에 따라 적분값과 무한급수의 오차가 크지 않은 경우도 있습니다. 1/k도 초기값이 1이기 때문에 오차가 크지 않습니다. 전체적으로 가우스기호가 씌워져 있기 때문에 무한급수의 근사값을 구할 수 있습니다.
수열의 나열순서를 바꾸면 수열의 수령 여부가 바뀌는지 알아보자.
적분을 이용하면 무한급수의 수렴과 발산 여부를 판정할 수 있다.
이를 적분판정법이라 부른다.
Q1다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 유클리드는 ‘자명하다고 생각되는 명제, 즉 증명할 필요 없이 명확한 명제’ 중에서 기하학에서만 사용하는 명제를 공준이라고 하고 기하학에 한정되지 않은 일반적인 명제를 공리라고 했다.
그 뒤에 유클리드가 말한 공준과 공리를 통일해 공리라고 규정했다. 유클리드의 ‘기하학원본’에서는 공리와 정의를 이용해 기하학을 논리적으로 증명했다. 이것은 오랫동안 체계적인 학문의 전형처럼 여겨졌다.
(나) 실수는 체의 공리, 순서의 공리, 완비성 공리라는 세 가지 특성을 만족하는데, 그 중 완비성 공리는 극한과 관련해 중요한 의미를 가진다. 실수의 완비성 공리는 실수에는 빈틈이 없다는 뜻이다. 유리수의 경우 아주 작은 구간에 무수히 많은 유리수가 존재하지만 그들 사이에는 무리수라는 무수히 많은 빈틈이 존재한다. 하지만 이런 빈틈이 실수에는 존재하지 않는다. 실수의 완비성 공리를 수열을 이용해 설명하면 ‘실수로 이뤄진 증가하는 수열의 각 항이 일정한 실수보다 작으면 그 수열은 수렴한다’이다.
(다) 유한수열 1, 2, 3, 4는 2, 4, 3, 1과 같은 식으로 나열하는 순서를 바꿀 수 있는데 이를 수열의 재배열이라 한다. 일반적으로 무한수열 an은 일대일대응 r:N→N을 이용해 bn=ar(n) 이라 할 때 {bn}으로 재배열한다. 예를 들어 수열 1, -1/2, 1/3, -1/4, ...는 일대일대응
r(n)= n-1, n이 짝수일 때
n+1, n이 홀수일 때
에 의해 -1/2, 1, -1/4, 1/3, ...로 재배열된다.
유한수열은 재배열해도 원소의 총합이 바뀌지 않는다. 그러나 무한수열은 재배열을 통해 수열의 총합이 바뀔 뿐만 아니라 수렴하던 수열이 발산하거나 발산하던 수열이 수렴할 수 있다. 이때 N은 자연수 전체의 집합이다.
전문가 클리닉
실수의 완비성 공리는 고교과정은 아니지만 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 논술문제에서 자주 등장하고 있습니다. 수열의 수렴 판정에서 중요하므로 꼭 알아두기 바랍니다.
논제 1은 완비성 공리를 이용하면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 하지만 답안을 제대로 서술하려면 추가적인 아이디어가 필요합니다. 논제 2는 무작정 식을 정리해 풀려고 하면 실패하기 쉽습니다. 문제 풀이에는 두 단계가 있는데, 첫 단계에서는 직관과 경험을 이용해 문제의 흐름을 파악해야 합니다.
Q2다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
전문가 클리닉
1) 논제 1은 적분판정법을 증명하는 문제로 완비성 공리를 사용하는데 익숙해졌다면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 논제 2는 적분판정법의 응용 문제로 로그함수가 합성돼 있으므로 치환을 두 번 해주어야 합니다. 논제 3은 적분판정법에서 사용하는 구분구적법의 아이디어를 응용한 문제입니다. 적분판정법으로 무한급수의 정확한 값을 구할 수는 없지만 함수에 따라 적분값과 무한급수의 오차가 크지 않은 경우도 있습니다. 1/k도 초기값이 1이기 때문에 오차가 크지 않습니다. 전체적으로 가우스기호가 씌워져 있기 때문에 무한급수의 근사값을 구할 수 있습니다.
