※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
제시문_가
고대 그리스 시대에는 물체의 운동과 관련해 다음과 같은 믿음을 갖고 있었다. 첫째, 물체가 운동을 유지하기 위해서는 힘이 계속 가해져야 한다. 당시에는 외력이 없어도 물체의 운동이 지속된다는 과학적 사실을 알지 못했기 때문이다. 둘째, 무거운 물체일수록 빨리 낙하한다. 이는 충분한 낙하거리를 이용해 똑같은 조건으로 실험을 한다면 어느 정도 타당성이 있다고 보인다. 하지만 고대 그리스인들은 무거운 물체가 아래로 움직이려는 경향이 더 강해 더 빨리 낙하한다고 믿었다. 그들은 무거운 물체일수록 지구가 물체를 당기는 힘인 중력이 크다고 생각했다. 무거운 물체에 더 큰 중력이 미친다는 생각은 맞지만 그 힘으로 다시 무거운 물체를 움직여야 하기 때문에 결국 가속도는 물체의 질량에 무관하다.
제시문_나
물체가 공기 중을 날아갈 때 물체에는 두 가지 저항력이 작용한다. 하나는 공기와 물체의 마찰에 의한 마찰저항이고 다른 하나는 물체 앞과 뒤에 작용하는 압력 차이 때문에 생기는 형상저항으로 압력저항이라고도 한다. 물체의 속도가 큰 경우 형상저항이 저항의 대부분을 차지하며 자동차나 비행기를 유선형으로 만드는 이유도 모두 형상저항을 줄이기 위해서다. 물론 낙하산처럼 형상저항을 늘려야 유리한 경우도 있다.
하늘 높은 곳에서 떨어지는 빗방울은 처음엔 매우 느린 속도로 떨어진다. 속도가 매우 느릴 경우엔 형상저항에 의한 저항력이 속도에 비례한다. 속도가 빨라지면 저항력이 속도의 제곱에 비례한다. 즉 저항력은 속도의 함수다.
공기 중에서 낙하하는 물체는 시간이 지남에 따라 중력이 일정한 상태에서 공기저항력이 점점 커져 중력과 저항력이 같아진다. 중력은 물체를 아래로 끌어당기는 방향으로 작용하고 저항력은 물체의 운동과 반대되는 방향인 윗쪽으로 작용하므로 두 힘은 서로 상쇄된다.
낙하하는 물체에 작용하는 힘이 평형을 이루므로 낙하하는 물체에서는 더 이상 속도 변화가 일어나지 않는다. 따라서 떨어지던 속도 그대로 아래 방향으로 내려온다. 등가속도 운동에서 등속 운동으로 바뀌는 셈이다. 이때 물체의 속도를 종단속도라고 한다. 종단속도는 물체가 땅으로 떨어질 때 도달하는 최대속도이자 더 이상 증가하지 않는 마지막 속도이다.
떨어지는 빗방울의 속도는 얼마일까? 빗방울의 낙하속도는 생각만큼 크지 않다. 이론적으로는 자유낙하를 하므로 꽤 빠른 속도가 예상되지만 낙하하는 과정에서 공기저항을 받기 때문이다. 보통 빗방울은 지름이 약 1~2mm이고 폭우일 때는 약 3mm다. 가랑비 빗방울은 지름이 0.15mm에 불과하다. 낙하속도는 빗방울의 크기에 따라 다르다. 일반적으로 빗방울이 아주 작은 이슬비의 낙하속도는 약 0.7m/s, 가랑비의 낙하속도는 약 1.6m/s, 비의 낙하속도는 약 3~6m/s, 폭우의 낙하속도는 8~9m/s다.
1) 만약 공기저항이 없다면 지표에서 비의 속도가 매우 클 것이다. 공기저항이 없을 때 지표에서 비의 속도를 논하고 이때 발생할 수 있는 상황을 추정하라.
2) 질량이 m인 물체가 정지 상태에서 중력의 영향을 받아 낙하운동을 한다. 공기저항력이 속도에 비례할 때 물체의 시간에 따른 속도 v(t)가 어떤 형태일지 설명하라. 중력은 일정하며 중력가속도는 g다.
전문가 클리닉
1) 논제의 조건을 스스로 결정해 해결하는 문제들이 간혹 출제되고 있습니다. 논제 1)이 이 유형에 속합니다. 과학적 지식을 도입해 비의 낙하거리를 정한 뒤 이를 이용해 공기저항이 없을 때 비의 속도를 구합니다. 이렇게 구한 비의 속도가 과학적으로 어떤 상황을 가져올 지도 두루 살펴야 합니다.
2) 공기저항력을 받는 환경에서 낙하하는 물체의 운동 상태를 묻습니다. 정성적인 풀이도 가능하지만 정량적으로 풀어내야 합니다.
예시답안
1) 비가 떨어지기 시작하는 높이는 일정하지 않다. 비가 형성되는 구름의 높이가 일정하지 않기 때문이다. 구름의 높이는 고도 상승에 따른 기온 하락과 이슬점 하락으로 결정되기 때문에 대기의 영향을 받는다. 하지만 이런 대기 현상은 대류권에서 발생하므로 비가 떨어지기 시작하는 높이는 대류권 상층부의 높이를 넘지 못한다. 그러므로 구름은 대략 1~10km에서 형성된다고 볼 수 있다.
2km 상공에서 물방울이 자유낙하할 때 지면에서의 속도를 계산해보자.
2as=v2-v02
(a : 가속도, s : 낙하거리, v : 나중속도, v0 : 초기속도)
앞 식에서 a=g=10m/s2, s=2000m, v0=0m/s인 경우를 설정해 계산하면 v=200m/s다. 시속으로 계산하면 720km/h에 이르는 매우 빠른 속도다. 아무리 작은 질량을 가진 액체라 해도 이 정도 속도로 떨어진다면 지면의 생명체는 물론이고 다른 물체에도 치명적인 충격을 줄 수 있다. 공기저항이 없는 상황에서 지표면에 생명체가 존재하기는 힘들다.
만약 비의 낙하 높이가 8km이면 지면에서의 속도는 2배가 되므로 v=400m/s다. 이는 음파의 속도를 넘어서는 속도다. 만약 이런 비가 내린다면 비 한 방울마다 엄청난 충격파를 일으킬 것으로 추정된다.
문제1
현재 인구가 P0 인 도시가 있다. 이 도시의 시간에 따른 인구 변화율은 현재 인구에 비례한다. 현재 시간을 t=0이라 할 때 시각 t에서 인구 P(t)의 모형을 수리적으로 분석하라.
전문가 클리닉
이 문제를 해결하기 위해서는 먼저 주어진 상황을 수식으로 표현하는 능력이 필요합니다. 그 뒤엔 표현된 수식의 유형을 파악해 P(t)를 구합니다. 앞에서 제시된 문제를 충분히 분석했다면 추가 논제도 어렵지 않게 풀 수 있습니다.
예십답안
시간에 따른 인구 변화율이 현재 인구수에 비례함을 식으로 나타내면 다음과 같다.
dP(t)/dt = kP(t) (k : 비례상수)
k는 인구 변화의 특성을 보여주는 비례상수로 그 도시의 특징이다. 주어진 식으로 다음 과정을 거쳐 P(t)를 구한다.
1/P dP/dt = k
양변을 t로 적분하면
∫1/P dP/dt dt = ∫kdt
lnP(t)= kt+ C
P(t)=eC·ekt
여기서 t=0일 때 인구 P(0)=P0 를 이용하면 eC=P0 다. 최종 식을 구하면 P(t)=P0 ekt다.
수리적 모형의 특징을 파악하기 위해 그래프를 그려보자. k>;0일 때는 기하급수적으로 증가하는 인구모형이, k<;0일 때는 기하급수적으로 감소하는 인구모형이 된다.
문제2
방사성 물질의 방사 능력은 안정되지 못한 핵 구조에 따른 붕괴 현상이다. 붕괴 빈도를 방사성 물질의 활동도 또는 방사능 붕괴율이라고 하며 이는 단위시간에 붕괴되는 수로 구한다. 방사성 물질의 활동도는 하나의 방사성 물질이 단위시간에 붕괴되는 확률과 관련 깊다. 이 확률을 붕괴상수라고 하며 물질마다 일정한 값을 갖는 고유 특징이다. 붕괴상수가 크면 붕괴 빈도가 높다. 일정한 확률을 갖고 붕괴하는 물질의 시간에 따른 변화를 나타내면 다음과 같다.
dN/dt = - λN (N : 원자 수, λ: 붕괴상수)
방사성 물질의 절반이 붕괴되는데 걸리는 시간은 일정하며 이를 반감기라고 한다. 반감기를 T라고 할 때 T는 다음 식을 따른다.
N(t) = N0 (1/2)t/T ( N0 : 초기 물질의 양)
반감기 T와 붕괴상수 λ의 관계를 설명하라.
전문가 클리닉
기본적인 미분방정식의 풀이 능력을 요구합니다. 붕괴 방정식과 반감기의 개념을 잘 이해하고 t에 대한 N(t)의 함수를 유도해 주어진 반감기 공식 형태로 변형하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
제시문_가
고대 그리스 시대에는 물체의 운동과 관련해 다음과 같은 믿음을 갖고 있었다. 첫째, 물체가 운동을 유지하기 위해서는 힘이 계속 가해져야 한다. 당시에는 외력이 없어도 물체의 운동이 지속된다는 과학적 사실을 알지 못했기 때문이다. 둘째, 무거운 물체일수록 빨리 낙하한다. 이는 충분한 낙하거리를 이용해 똑같은 조건으로 실험을 한다면 어느 정도 타당성이 있다고 보인다. 하지만 고대 그리스인들은 무거운 물체가 아래로 움직이려는 경향이 더 강해 더 빨리 낙하한다고 믿었다. 그들은 무거운 물체일수록 지구가 물체를 당기는 힘인 중력이 크다고 생각했다. 무거운 물체에 더 큰 중력이 미친다는 생각은 맞지만 그 힘으로 다시 무거운 물체를 움직여야 하기 때문에 결국 가속도는 물체의 질량에 무관하다.
제시문_나
물체가 공기 중을 날아갈 때 물체에는 두 가지 저항력이 작용한다. 하나는 공기와 물체의 마찰에 의한 마찰저항이고 다른 하나는 물체 앞과 뒤에 작용하는 압력 차이 때문에 생기는 형상저항으로 압력저항이라고도 한다. 물체의 속도가 큰 경우 형상저항이 저항의 대부분을 차지하며 자동차나 비행기를 유선형으로 만드는 이유도 모두 형상저항을 줄이기 위해서다. 물론 낙하산처럼 형상저항을 늘려야 유리한 경우도 있다.하늘 높은 곳에서 떨어지는 빗방울은 처음엔 매우 느린 속도로 떨어진다. 속도가 매우 느릴 경우엔 형상저항에 의한 저항력이 속도에 비례한다. 속도가 빨라지면 저항력이 속도의 제곱에 비례한다. 즉 저항력은 속도의 함수다.
공기 중에서 낙하하는 물체는 시간이 지남에 따라 중력이 일정한 상태에서 공기저항력이 점점 커져 중력과 저항력이 같아진다. 중력은 물체를 아래로 끌어당기는 방향으로 작용하고 저항력은 물체의 운동과 반대되는 방향인 윗쪽으로 작용하므로 두 힘은 서로 상쇄된다.
낙하하는 물체에 작용하는 힘이 평형을 이루므로 낙하하는 물체에서는 더 이상 속도 변화가 일어나지 않는다. 따라서 떨어지던 속도 그대로 아래 방향으로 내려온다. 등가속도 운동에서 등속 운동으로 바뀌는 셈이다. 이때 물체의 속도를 종단속도라고 한다. 종단속도는 물체가 땅으로 떨어질 때 도달하는 최대속도이자 더 이상 증가하지 않는 마지막 속도이다.
떨어지는 빗방울의 속도는 얼마일까? 빗방울의 낙하속도는 생각만큼 크지 않다. 이론적으로는 자유낙하를 하므로 꽤 빠른 속도가 예상되지만 낙하하는 과정에서 공기저항을 받기 때문이다. 보통 빗방울은 지름이 약 1~2mm이고 폭우일 때는 약 3mm다. 가랑비 빗방울은 지름이 0.15mm에 불과하다. 낙하속도는 빗방울의 크기에 따라 다르다. 일반적으로 빗방울이 아주 작은 이슬비의 낙하속도는 약 0.7m/s, 가랑비의 낙하속도는 약 1.6m/s, 비의 낙하속도는 약 3~6m/s, 폭우의 낙하속도는 8~9m/s다.
1) 만약 공기저항이 없다면 지표에서 비의 속도가 매우 클 것이다. 공기저항이 없을 때 지표에서 비의 속도를 논하고 이때 발생할 수 있는 상황을 추정하라.
2) 질량이 m인 물체가 정지 상태에서 중력의 영향을 받아 낙하운동을 한다. 공기저항력이 속도에 비례할 때 물체의 시간에 따른 속도 v(t)가 어떤 형태일지 설명하라. 중력은 일정하며 중력가속도는 g다.
전문가 클리닉
1) 논제의 조건을 스스로 결정해 해결하는 문제들이 간혹 출제되고 있습니다. 논제 1)이 이 유형에 속합니다. 과학적 지식을 도입해 비의 낙하거리를 정한 뒤 이를 이용해 공기저항이 없을 때 비의 속도를 구합니다. 이렇게 구한 비의 속도가 과학적으로 어떤 상황을 가져올 지도 두루 살펴야 합니다.
2) 공기저항력을 받는 환경에서 낙하하는 물체의 운동 상태를 묻습니다. 정성적인 풀이도 가능하지만 정량적으로 풀어내야 합니다.
예시답안
1) 비가 떨어지기 시작하는 높이는 일정하지 않다. 비가 형성되는 구름의 높이가 일정하지 않기 때문이다. 구름의 높이는 고도 상승에 따른 기온 하락과 이슬점 하락으로 결정되기 때문에 대기의 영향을 받는다. 하지만 이런 대기 현상은 대류권에서 발생하므로 비가 떨어지기 시작하는 높이는 대류권 상층부의 높이를 넘지 못한다. 그러므로 구름은 대략 1~10km에서 형성된다고 볼 수 있다.
2km 상공에서 물방울이 자유낙하할 때 지면에서의 속도를 계산해보자.
2as=v2-v02
(a : 가속도, s : 낙하거리, v : 나중속도, v0 : 초기속도)
앞 식에서 a=g=10m/s2, s=2000m, v0=0m/s인 경우를 설정해 계산하면 v=200m/s다. 시속으로 계산하면 720km/h에 이르는 매우 빠른 속도다. 아무리 작은 질량을 가진 액체라 해도 이 정도 속도로 떨어진다면 지면의 생명체는 물론이고 다른 물체에도 치명적인 충격을 줄 수 있다. 공기저항이 없는 상황에서 지표면에 생명체가 존재하기는 힘들다.
만약 비의 낙하 높이가 8km이면 지면에서의 속도는 2배가 되므로 v=400m/s다. 이는 음파의 속도를 넘어서는 속도다. 만약 이런 비가 내린다면 비 한 방울마다 엄청난 충격파를 일으킬 것으로 추정된다.
문제1
현재 인구가 P0 인 도시가 있다. 이 도시의 시간에 따른 인구 변화율은 현재 인구에 비례한다. 현재 시간을 t=0이라 할 때 시각 t에서 인구 P(t)의 모형을 수리적으로 분석하라.
전문가 클리닉
이 문제를 해결하기 위해서는 먼저 주어진 상황을 수식으로 표현하는 능력이 필요합니다. 그 뒤엔 표현된 수식의 유형을 파악해 P(t)를 구합니다. 앞에서 제시된 문제를 충분히 분석했다면 추가 논제도 어렵지 않게 풀 수 있습니다.
예십답안
시간에 따른 인구 변화율이 현재 인구수에 비례함을 식으로 나타내면 다음과 같다.
dP(t)/dt = kP(t) (k : 비례상수)
k는 인구 변화의 특성을 보여주는 비례상수로 그 도시의 특징이다. 주어진 식으로 다음 과정을 거쳐 P(t)를 구한다.
1/P dP/dt = k
양변을 t로 적분하면
∫1/P dP/dt dt = ∫kdt
lnP(t)= kt+ C
P(t)=eC·ekt
여기서 t=0일 때 인구 P(0)=P0 를 이용하면 eC=P0 다. 최종 식을 구하면 P(t)=P0 ekt다.
수리적 모형의 특징을 파악하기 위해 그래프를 그려보자. k>;0일 때는 기하급수적으로 증가하는 인구모형이, k<;0일 때는 기하급수적으로 감소하는 인구모형이 된다.
문제2
방사성 물질의 방사 능력은 안정되지 못한 핵 구조에 따른 붕괴 현상이다. 붕괴 빈도를 방사성 물질의 활동도 또는 방사능 붕괴율이라고 하며 이는 단위시간에 붕괴되는 수로 구한다. 방사성 물질의 활동도는 하나의 방사성 물질이 단위시간에 붕괴되는 확률과 관련 깊다. 이 확률을 붕괴상수라고 하며 물질마다 일정한 값을 갖는 고유 특징이다. 붕괴상수가 크면 붕괴 빈도가 높다. 일정한 확률을 갖고 붕괴하는 물질의 시간에 따른 변화를 나타내면 다음과 같다.
dN/dt = - λN (N : 원자 수, λ: 붕괴상수)
방사성 물질의 절반이 붕괴되는데 걸리는 시간은 일정하며 이를 반감기라고 한다. 반감기를 T라고 할 때 T는 다음 식을 따른다.
N(t) = N0 (1/2)t/T ( N0 : 초기 물질의 양)
반감기 T와 붕괴상수 λ의 관계를 설명하라.
전문가 클리닉
기본적인 미분방정식의 풀이 능력을 요구합니다. 붕괴 방정식과 반감기의 개념을 잘 이해하고 t에 대한 N(t)의 함수를 유도해 주어진 반감기 공식 형태로 변형하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
