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Q

장소는 미국, 어떤 사람이 편의점에서 물건 4개를 샀다. 점원이 계산기를 두드리더니 7달러 11센트라고 했다. 이 손님이 가만히 보니 점원이 덧셈 대신 곱셈 버튼을 누르지 않았는가. 손님이 항의하자 점원은 덧셈 버튼을 눌러 다시 계산을 했다. 그런데 놀랍게도 물건 값은 여전히 7달러 11센트였다. 4개의 가격을 곱해도 7.11달러가 나오고 더해도 7.11달러가 나온다면, 각 상품의 가격은 얼마일까?

A

이 편의점 이름이 무엇인지는 굳이 말하지 않아도 짐작할 것이다. 수학자들이 흔히 하는 농담 가운데 하나로 ‘미국인에게 친숙한 소수 3개는 7, 11, 911’이라는 말이 있다. ‘7-up’ 때문에 7이 친숙하고, 편의점 이름 때문에 11이 익숙하며, 긴급구조 전화번호 때문에 911이 친숙하다는 것이다. 요즘 같으면 뉴욕의 쌍둥이 빌딩이 테러로 무너졌던 9·11 사태로도 익숙할 것이고.

우리나라처럼 화폐의 단위를 정수로만 쓰는 곳에서는 이같은 상황이 일어나기 힘들다. 하지만 미국처럼 소수점 아래 단위까지 쓰는 곳에서는 이런 희한한 상황이 가능하다.

물건 4개의 가격을 각각 x, y, z, w라고 하자. 우리가 원하는 것은 xyzw=7.11이면서 x+y+z+w=7.11인 x,y, z, w를 찾는 것이다. 이대로는 계산이 불편하니까 모든 문자를 100배 곱해서 자연수로 바꿔 생각하자.

그러면 xyzw=711000000이고 x+y+z+w=711이 되는 네 개의 자연수를 찾는 문제가 된다.

우선 711000000은 ${2}^{6}$×${3}^{2}$×${5}^{6}$×79로 소인수분해 되니까 x, y, z, w 가운데 79의 배수가 있어야 한다. 한편 어느 문자도 711보다는 작을 테니까, 79의 배수로 가능한 것은 79, 158, 237, 316, 395, 474, 632의 일곱 가지다. 7×79는 711000000으로 나눠떨어지지 않으니까 생각할 필요 없다. 각각의 경우에 대해 나머지 문자를 조사해 보면 정답은 1.20, 1.25, 1.50, 3.16임을 알 수 있다.

이런 일이 가능한 것은 7.11달러만은 아니다. 똑같은 상황이 6.44달러에 대해서도 가능하다. 이 경우 정답은 1.25, 1.60, 1.75, 1.84이며, 6.44는 이런 일이 가능한 가장 작은 금액이다. 한편 8.00의 경우에는 모든 가격이 정수인 풀이도 가능하다. 즉 8=1+1+2+4=1×1×2×4가 된다.

이런 풀이 외에 약간 다른 방법도 있다. 물건 4개의 가격이 각각 0.79, 1.75, 2.00, 2.57달러인 경우, 그 합은 7.11달러지만 곱은 7.10605달러가 된다. 금액에 대한 계산이니까 센트 아래는 반올림한다고 생각하면, 이 경우도 가능하다. 또 0.79, 2.00, 2.07, 2.29달러인 경우에도 합은 7.11달러고 곱은 7.11045달러가 돼 반올림하면 역시 같은 결과가 나온다. 물론 계산기를 두드렸을 때 7.10605이나 7.11045라는 결과를 보고도 이상하게 생각하지 않는 점원이라면 일찌감치 자르는 편이 낫겠지만.

물건의 개수가 달라져도 이런 문제가 가능할까? 일반적으로 물건의 개수가 많을수록 경우의 수는 더 많아진다. 물건의 개수가 2개일 때는 4달러부터 102.01달러까지 정확히 13개의 가격이 가능하다.