d라이브러리

Q

반원 세 개로 다음과 같은 그림을 만들었다. 작은 두 원이 만나는 점에서 수선을 그었더니 그 길이가 6이었다. 색칠한 부분의 넓이는 얼마일까?
 

A

아르키메데스를 비롯한 많은 고대 수학자들이 연구했던 이 도형은 ‘구두 만드는 사람의칼’을 뜻하는 그리스어 ‘아르벨로스’(arbelos)로 불린다. 이 도형의 넓이는 문제에서 주어진 선분의 길이만으로 구할 수 있다.
 

작은 두 원의 지름을 각각 x, y라고 하자. 오른쪽 그림(01)처럼 원래의 도형을 선대칭해 원 3개를 만들면, 두 삼각형이 닮았다는 데서 x:6=6:y이므로 xy=36이 된다. 따라서 이때 색칠한 부분의 넓이는

$π$${(\frac{x+y}{2})}^{2}$ $-$ $π$${(\frac{x}{2})}^{2}$ $-$ $π$${(\frac{y}{2})}^{2}$ $=$ $π$$\frac{xy}{2}$ $=$ $18π$

이고, 아르벨로스의 넓이는 그 절반인 9π다.

아르키메데스는 아르벨로스의 여러 성질에 대해 기록을 남겼다. 그 가운데 가장 유명한 것은 위의 그림(02)처럼 아르벨로스를 나눈 2개의 영역에 같은 크기의 원 2개를 접하도록 그려 넣을 수 있다는 것이었다. 이 두 원을 ‘아르키메데스의 쌍둥이 원’이라고 부른다.

1974년 치과의사였던 레온 밴코프는 아르키메데스의 쌍둥이 원과 똑같은 원을 하나 더 그릴 수 있다는 사실을 밝혔다. 아르키메데스가 기원전 3세기 사람이었으니 자그마치 2000년 넘게 아무도 생각하지 못했던 발견이었다. 밴코프가 발견한 원은 아래 그림(03)처럼 아르벨로스 안에 접하는 원을 하나 그린 다음 그 원의 두 접점과 아르벨로스를 이루는 작은 두 원의 교점을 지나는 것이었다.
 

밴코프의 발견으로 또 다른 원들이 발견되기 시작했다. 독일의 토마스 쇼흐는 아르키메데스의 원과 똑같은 크기의 원을 12개 더 그려 넣을 수 있음을 보였다. 그는 이 사실을 1979년에 발견했는데,어찌된 일인지 밴코프에게 전해졌던 쇼흐의 독일어 원고가 빛을 보게 된 것은 20년이 지나서였다.

이후 여러 수학자들은 아르벨로스에 무한히 많은 원을 그려 넣을 수 있다는 것까지 밝혀냈다. 아마추어 수학자의 발견이 이 정도로 발전한 것은 보기 드문 일이다.