Q
45개 숫자 가운데 6개를 맞혀야 하는 로또의 성공확률은 8백14만5천60분의 1. 이 무모한 도박에 헛된 꿈을 걸게 한 로또가 갖는 단 하나의 장점이라면 사람들에게 확률에 대한 관심을 갖게 한 것이 아닐까.
하지만 로또가 여전히 인기를 끌고 있고 심지어 로또의 당첨확률을 높이는 비법의 책까지 나오는 것을 보면 사람들은 확률에서 배운 것이 별로 없는 것 같다.
로또의 당첨확률을 높이는 놀라운 방법이란 없다. 대신 이번 수학퍼즐에서는 수학을 이용해 그럴듯하게 로또의 확률을 높이는 방법을 소개한다. 퍼즐마니아 조창연 님의 작품이다.
지금 당신 앞에 검은 양말과 하얀 양말이 여러 켤레 놓여있다고 가정하자. 눈을 감은 채 양말을 골랐을 때, 같은 색 양말 한켤레를 확실하게 만들려면 최소 몇짝의 양말을 골라야 할까? 당연히 3짝의 양말을 고르면 된다.
그렇다면 번호가 2개 맞는 복권이 적어도 1장이 나오려면 최소 몇장의 복권을 사야 할까?
A
우선 로또의 45개 번호를 9개씩 5개조로 다음처럼 나눈다.
(1~9) (10~18) (19~27) (28~36) (37~45)
당첨번호가 모두 6개므로 이 5조 가운데 한 조는 적어도 2개의 당첨번호가 포함돼 있다. 이같은 논법을 ‘비둘기 집의 원리’ 라고 하는데, 6마리의 비둘기가 5개의 새집에 들어간다면 그 가운데 한집에는 적어도 2마리의 비둘기가 같이 있어야 한다는 것이다.
만약 (1~9)의 조에 적어도 2개의 당첨번호가 있을 경우 2개의 당첨번호를 맞추려면 적어도 몇장을 사야할까? 이 경우에는 (1~9)를 (1~3) (4~6) (7~9)의 3조로 나눈다. 이 경우 당첨번호 2개는 적어도 3조 중 2조에 포함돼 있다. 따라서 당첨번호가 6개니까 2조씩를 고른 (1, 2, 3, 4, 5, 6) (1, 2, 3, 7, 8, 9) (4, 5, 6, 7, 8, 9) 로또 3장을 구입하면 된다. 따라서 5조에 대해 모두 같은 방식으로 3장씩 구입하면 총 15장이 된다. 15장이면 최소한 번호 2개는 맞출 수 있다.
이 결과는 재미있는 역설을 만들어낸다. 만약 무작위로 15장의 로또를 산다면 당첨확률은 고작 15/8145060이다. 그런데 6개 가운데 번호를 2개 미리 알고 있다면 나머지 43개 가운데 4개만 맞으면 되므로 그 확률은 1/123410이 된다. 43개 중 4개를 고르는 경우의 수가 (43×42×41×40)/(4×3×2×1)이기 때문.
우리는 이미 15장으로 번호 2개는 확실히 맞출 수 있음을 알고 있다. 따라서 15장의 번호만 잘 조합하면 이 가운데 1등이 나올 확률은 15/8145060이 아니라 1/123410로 자그마치 4.4배나 높아진다. 그럴듯해 보이지 않는가? 그렇다고 이 글을 믿고 로또 15장을 사는 일이 없기를 바란다.
