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<;문제>; "n이 3보다 크거나 같을 때 Xⁿ+yⁿ=Zⁿ을 만족하는 정수해는 존재하지 않는다" 만약 이것을 해결하면 10만마르크를 받게 될 것이다.

프랑스의 아마추어 수학자 피에르 드 훼르마(Pierre de Fermatㆍ1601-1665)는 프랑스의 철학자이며 수학자인 데카르트(Rene Descartesㆍ1596-1650)가 현대 해석 기하학의 기초를 형성한 시기에 해석 기하학에 깊은 관심을 가지고 있었다.

과학잡지가 없던 당시 그의 방대한 업적은 그의 동료 수학자들과의 서신왕래를 통해 살펴볼수 있다. 그가 죽은 다음 발간된 논문 'lsogoge ad locus planos et solidos'에 의해 그의 쌍곡선, 타원, 포물선의 이론에서부터 원과 직선의 일반화된 방정식에 대한 업적을 엿볼 수 있다.

1637년 이전에 완성된 것으로 알려진 곡선의 접선이나 평면적의 구적(求積) 문제에서 그는 많은 새로운 곡선을 해석적으로 정의하였다. 여기서 아이디어를 얻은 데카르트는 몇 개의 새로운 곡선이 역학 운동에 의해서 생성됨을 입증하였다. 훼르마 또한 많은 곡선을 대수적으로 정리하였다.

곡선 ${x}^{m}$yⁿ=a, yⁿ=axⁿ, rⁿ=aθ는 지금까지도 훼르마의 쌍곡선, 포물선, 나선으로 각각 불리워진다. 또 그는 다른 동료와 함게 3차 곡선을 발견하였다. 이 곡선은 뒤에 다재다능한 여자 수학자이며, 철학자요, 언어학자이고 몽유병자이기도 했던 마리아 아녜지(Maria Gaetana Agnesiㆍ1718-1799)의이름을 따서 아녜지의 마녀라 불리워졌다.

학문접근법이 달랐던 당대의 2인
 

데카르트와 훼르마는 그들의 방대한 연구에서 서로 다른 접근 방법을 보였다. 데카르트는 곡선의 궤적으로부터 시작하여 곡선의 방정식을 얻었다. 반면 훼르마는 방정식으로부터 시작하여 곡선의 궤적을 연구하였다. 이와같이 훼르마는 베타(Vieta) 기호를 썼으므로 그의 논조가 고풍(古風)스러웠던 반면 데카르트는 보다 현대적인 기호를 구사 하였다.
 

훼르마는 1601년(?)에 툴루즈(Toulouse) 근교에서 태어나서 1665년 카스트르(Castres)에서생을 마쳤다. 그의 부친은 피혁상이었으며 그의 소년 시절의 교육은 주로 가정에서 이루어졌다. 30세에 툴루즈 지방의회 의원이 되어 그 직무를 성실히 이행하였다. 퇴직 후에는 변호사로 지냈으나 주로 수학 연구에 모든 시간을 바쳤다.

그의 생전에 발견된 수학적 업적은 거의 없으나 당대의 많은 수학자들과 친분이 두터웠으며 그들에게 많은 영향을 끼쳤다. 수학의 많은 분야에 큰 공헌을 한 훼르마는 17세기 프랑스의 가장 위대한 수학자로 추앙을 받는다.

수학에 관한 훼르마의 다방면의 공헌 가운데 괄목할 만한 것은 주로 현대 정수론에 있다고 하겠다. 이 방면에 그는 특별한 직관과 재능을 갖고 있었다. 이것은 아마 1662년 바셰(Bachet)가 라틴어로 번역한 '디오판투스(Diophantus)의 아리스메티카(Arithmetica)'에 기인한 것으로 여겨진다.

이상하게도 훼르마의 정수론에 대한 공헌은 주로 바셰 역서의 여백에 실려 있다. 그가 세상을 떠난 5년 뒤인 1670년에 그의 아들 클레망 사뮈엘(Clément Samuel)에 의하여 발표된 많은정리들은 증명없이 발표되었으나 뒤에 후학(後學)들에 의하여 입증되기에 이르렀다.

훼르마의 문제는 9분의 8이 증명돼

다음에 열거하는 문제가 페르마에 의하여 제창되었던 것들이다.
(1) "P가 소수(素數)이고 a가 P와 서로 소인 정수이면 ${a}^{p-1}$-1은 P로 나누어진다"

예컨데 P=5, a=2이면 ${a}^{p-1}$=15=5×3이라는 것이다. 이 정리는 '훼르마의 작은 정리' 라고 하는데 훼르마가 1640년 10월 18일 베시(Fré
nicle de Bessy)에게 보낸 편지에 증명 없이 기술되어 있다. 이 정리는 1736년 오일러(Euler)가 처음으로 증명해서 발표했다.

(2) "2가 아닌 모든 소수는 두제곱수의 차로서 유일하게 표시할 수 있다"

훼르마는 이 문제를 간단히 증명했다. P가 2 아닌 소수이면 P=[$\frac{p+1}{2}$]²-[$\frac{p-1}{2}$]²이다.
반면에 P=x²-y²이면 P=(x+y)(x-y)이고 P는 소수이므로 그 약수는 P와 1 밖에 없다. 따라서 x+y=P,x-y=1 또는 x=$\frac{p+1}{2}$, y=$\frac{p-1}{2}$이다.

(3) "n이 정수일 때 4n+1과 같은 형의 소수 P는 두 제곱수의 합으로 표시 가능하다"

예컨데 5=4+1, 13=9+4, 17=16+1, 13=9+4, 17=16+1, 229=5+4라는 것. 이 정리는 훼르마가 1640년 12월 25일 메르센느(Mersenne) 신부에게 보낸 편지에 처음 기술 되었다. 이 문제도 1754년 오일러에 의하여 증명되었다. 그리고 그 표시가 유일하다는 것도 오일러가 밝혔다.

(4) "모든 음이 아닌 정수는 4개 또는 이 보다 작은 갯수의 제곱수들의 합으로 표시된다"

이 어려운 정리는 라그랑주(Lagrange)에 의하여 1770년 증명되었다.

(5) "정수를 변의 길이로 갖는 직각삼각형의 면적은 제곱수가 될 수 없다"

이 정리도 라그랑주가 증명했다.

(6) "x²+2=y³의 해는 오직 하나이고, x²+4=y³의 해는 두개 뿐이다"

이 문제는 한 영국의 수학자에게 도전하는 문제로 제기되었다. x=5, y=3이 첫 문제의 해이고, 둘째 문제의 해는 x=2, y=2와 x=11, y=5이다.

(7) "x⁴+y⁴=Z²을 만족하는 정수는 없다"

(8) "음이 아닌 임의 정수 n에 대하여 f(n)=${2}^{2n}$+1은 소수이다"

이 페르마의 추측은 오일러에 의하여 f(5)가 합성수임이 밝혀진다.

일본학자가 풀었다는데…

(9) "n≧3일때 xⁿ+yⁿ=Zⁿ을 만족하는 정수해는 존재하지 않는다"(x=y=z≠0)

이 유명한 훼르마의 문제는 '훼르마'의 마지막정리' 또는 '훼르마의 대 정리'라고 불리운다. 하지만 증명된 명제가 아니므로 정리라 할 수 없고 보통 훼르마의 문제라 불리워왔다.

이 문제도 n=3, n=4, n=7인 특수한 경우에 대해서는 오일러, 디리슐레(Dirichlet), 라메(Lamé) 등의 수학자들에 의히여 증명되었다. 특히 쿰머(Kummerㆍ1810-1893)는 n=5인 경우의 증명을 한 라장드르(Legendre)와 디리슐레의 증명의 모순을 지적하기도 하였다. 또 쿰머는계속 이 문제를 연구하는 가운데 현대 대수학의 아이디얼(ideal) 이론을 발전시키는데 큰 공헌을 하기도 했다. 쿰머의 검증에 의하여 n＜600인 경우에 훼르마의 정리가 참인 것이 알려졌다.

최근에는 일본 도립대학의 '미요아카'교수가 이 문제를 해결했다고 타임지에 보도되기도 했으나 얼마 뒤 그는 자기의 증명이 완전하지 못한 것을 인정하고 증명을 취소하였다고 한다.

훼르마는 바셰의 역서의 여백에 자기가 이 문제의 경이적인 증명을 하였으나 여백이 너무 좁아서 그 증명을 수록하지 못한다고 적고 있다. 하지만 실제로 그가 증명을 완성했는지는 알 수 없는 일이다.

사실 훼르마가 발견하고 스스로 증명했다고 하는 명제의 증명에 많은 수학자들이 지금까지 노력을 기울여왔지만 이 훼르마의 문제는 오늘가지도 미해결인 채 남아있다.
 

$\sqrt{2}$가 무리수임을 훼르마방식으로 증명하는 법
 

한 가지 재미있는 사실은 1908년 독일의 수학자 볼프스켈(Wolfskehl)의 유언에 따라 2007년까지 이 증명을 완성한 사람에게 10만 마르크의 상금이 주어지게 되어 있는것. 그러나 이 상금은 1919년 이전의 것이어서 그리 큰 돈은 아니다. 1차 세계대전 후의 악성 인플레와 화폐가치의 변동으로 현재에는 그 상금의 보람이 별로 없을 정도로 작은 액수가 되고 말았다.
 

여하튼 훼르마는 이 문제를 떠나서도, 연구 성과가 대단하다. 미적분학의 극치문제, 곡선의 접선, 확률론, 광학에 이르기까지 한 사람의 능력이 이렇게 방대할 수 있을까 하는 의구심을 일으킬 정도로 위대한 수학자임에 틀림없다.
 

1897년 레이든(Leyden)도 서관소장 오이겐스(Christiaan Huygens)의 원고 중에서 훼르마가 발견한 것으로 알려진 귀류법에 유용하게 이용되는 '무한한 하강(infinite descent)'방법이발견 되었다. 이 방법은 정수론에서 양의 정수에 관한 명제의 증명에 대단히 유용하게 쓰이고있다.
 

예컨대 고등학교 교과서에 수록되어 있는 $\sqrt{2}$=무리수라는 증명을 훼르마의 방법으로 소개하면 다음과 같다.
 

첫째 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하자.그러면 $\sqrt{2}$=$\frac{a}{b}$(a,b는 양의 정수)이다.
 

$\sqrt{2}$+1=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 그리고 $\frac{b}{a}$+1=$\frac{1}{\frac{a}{b}-1}$=$\frac{b}{a-b}$이다.

따라서 $\sqrt{2}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a-b}$-1=$\frac{2b-a}{a-b}$ 가 된다.
 

여기서 a-b=b₁, 2b-a=a₁이라 하면 $\sqrt{2}$=$\frac{a₁}{b₁}$이 된다. 그런데 1＜$\sqrt{2}$＜2,즉1＜$\frac{a}{b}$＜2가 된다. 이 식의 양변에 b를 곱하면 b＜a＜2b이다. 따라서 0＜2b-a=a₁이므로 a₁=2b-a＜a이다.
 

이 방법을 계속 적용하면 $\sqrt{2}$=$\frac{a₂}{b₂}$, a₂＜a₁이 된다. 또 이 과정은 무한히 계속될 수 있다. 그러나 양의 정수는 무한히 감소할 수 없으므로 처음 가정인 $\sqrt{2}$가 유리수라는 가정은 모순이다. 즉 $\sqrt{2}$는 무리수이다.