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4세기경 알렉산드리아의 수학자 히파티아 이후 여성 수학자는 좀처럼 등장하지 않았다. 근대 이후가 돼서야 여성 수학자가 그 빛을 다시 세상에 드러냈는데, 그가 바로 18세기 프랑스에서 태어난 여성 수학자 소피 제르맹이다. 왜 갑자기 여성 수학자 이야기를 하느냐고? 지금 소개할 소수에 이 수학자의 이름이 들어가기 때문이다. 

그는 부유한 가정에서 태어났지만, 당시 프랑스는 정치적 혼란기였다. 오랜 시간 집에서 시간을 보내야 했던 그는 우연히 장-에티엔 몽튀클라가 쓴 <;수학의 역사>;라는 책을 읽었다. 여기에 소개된 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이야기를 읽고 감동한 제르맹은 수학 도서를 모두 읽으며 수학에 대한 열정을 키웠다.

그 이후부터 제르맹은 수학의 매력에 빠져 독학하기 시작했다. 부모님의 반대에도 불구하고 이탈리아 수학자이자 천문학자인 조제프 루이 라그랑주의 강의 노트를 구해 혼자서 공부했다. 그리고 르 블랑이라는 가명을 써서 공부한 내용을 라그랑주에게 적어 보냈다. 이 내용에 큰 감명을 받은 라그랑주는 논문 저자를 직접 만나보기로 했다. 라그랑주는 제르맹의 집으로 찾아가 만난 뒤 그가 여성이라는 사실을 알게 됐고 이후 멘토가 돼 줬다. 

훗날 제르맹은 주위 사람들이 여성 수학자라고 비웃는 게 두려워 가명을 썼다고 밝혔다. 당시에는 여성이 대학에서 공부조차 할 수 없었기 때문이다. 라그랑주는 그의 책 <;정수론>;에 제르맹의 연구 결과를 실었고, 여기에 각주로 제르맹의 업적이라는 사실을 달아놓기도 했다. 

제르맹은 라그랑주 외에도 19세기 최고의 수학자들과 편지를 주고받았다. 주로 정수론에 관한 이야기를 나눴는데, 이때 가우스와 페르마의 마지막 정리에 관해 열띤 토론을 벌였다.

제르맹의 수학적인 업적 중 가장 큰 업적은 ‘페르마의 마지막 정리’를 만족하는 소수를 찾은 것이다. 어떤 소수 p에 대해 p와 2p + 1도 소수가 될 때 그 소수 p를 ‘소피 제르맹 소수’라고 부르는데, 1823년에 제르맹은 n이 100보다 작은 소피 제르맹 소수일 때 xⁿ ＋ yⁿ ＝ zⁿ의 해는 n으로 나눠지지 않는 정수 중에서는 발견할 수 없다는 점을 증명했다. 즉 100보다 작은 모든 소피 제르맹 소수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립함을 보인 것이다. 

페르마는 한 책 귀퉁이에 ‘n이 3 이상의 정수일 때, xⁿ＋yⁿ ＝ zⁿ을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다. 여백이 부족해 증명 방법은 적을 수 없다’라고 적었다. 이 추측이 바로 여러 수학자가 증명을 해내려 머리를 싸맸던 난제 페르마의 마지막 정리다. 

페르마의 마지막 정리는 350년 넘게 난제로 있다가 1995년에 영국의 수학자 앤드루 와일스가 증명했는데, 증명 과정에서 소피 제르맹 소수에 관한 연구가 해결의 결정적인 힌트를 제공했다. 

알려진 소피 제르맹 소수 가운데 가장 큰 수는 2016년 2월에 발견한 무려 388342자리의2618163402417×21290000 - 1이다. 소피 제르맹 소수는 무한할 거로 추측되나 아직 밝혀지지 않았다.

더 안전한 암호 만드는 데 유용

소피 제르맹 소수는 암호학과 관련이 있다. p와 2p + 1이 모두 소수이면 2p + 1을 보안 소수(안전 소수)라고 한다. 이런 소수를 이용해 암호 알고리듬을 만들면 해독이 더 어려워진다. 해독이 어려운 이유는 p - 1의 인수 가운데 작은 수는 많지 않아 이 수를 인수분해 하기가 쉽지 않고 그에 따라 암호화하면 보다 높은 안전성을 갖게 되기 때문이다. 

현대 사회까지 영향을 주는 의미 있는 결과를 남겼음에도 1831년 암으로 세상을 떠날 때까지 제르맹은 수학자로 인정받지 못했다. 훗날 가우스는 제르맹의 업적을 높이 평가해야 한다고 주장했다.