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이 수의 특징이 눈에 보이는가? 첫 자릿수는 1, 그다음 0이 13개, 숫자 666, 다시 0이 13개, 마지막은 1로 끝나는 서른 한 자리 소수다. 기독교에서 불운하다고 여기는 숫자인 666과 13이 모두 담겨있어 ‘악마의 소수’, 혹은 ‘벨페고르의 소수’로 불린다. 벨페고르는 기독교에서 지옥의 악마를 가리킨다.
벨페고르의 소수처럼 앞에서 읽든 뒤에서 읽든 똑같은 소수를 ‘회문 소수’라고 한다. 회문 소수는 다음과 같은데, 신기하게도 11 외에는 모두 한 자리나 세 자리, 다섯 자리 등 홀수 자리로 이뤄져 있다.
실제로 짝수 자리를 가지는 회문 소수는 11밖에 없다. 짝수 자리로 이뤄진 회문 수는 모두 11의 배수이기 때문이다. 예를 들어 44, 3773, 261162처럼 짝수 자리로 이뤄진 회문 수는 모두 11의 배수다.
그런데 이 수들이 11의 배수인 것을 어떻게 알까? 직접 나눠보지 않고도 쉽게 아는 방법이 있다. 바로 홀수 자릿수의 합과 짝수 자릿수의 합의 차를 확인하면 된다. 그 둘의 차가 0 또는 11의 배수면 그 수는 11의 배수고, 그렇지 않으면 11의 배수가 아니다. 이런 방법을 ‘11의 배수 판정법’이라고 한다.
예를 들어 주어진 수가 네 자릿수인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이때 101 + 1이나 103 + 1과 같이 10의 홀수 제곱에 1을 더한 값은 항상 11의 배수다. 또 102 - 1과 같이 10의 짝수 제곱에서 1을 뺀 값도 항상 11의 배수다. 이 때문에 밑줄 친 부분은 모두 11의 배수다. 따라서 ABCD가 11의 배수가 되려면 홀수 자릿수인 A와 C의 합과 짝수 자릿수인 B와 D의 합의 차가 0 또는 11의 배수가 돼야 한다. 이 방법으로 44, 3773, 261162의 홀수 자릿수의 합과 짝수 자릿수의 합의 차를 구하면 모두 0이 된다. 따라서 모두 11의 배수가 된다는 것을 알 수 있다.
이처럼 짝수 자리로 이뤄진 회문 수 중에서 11이 아닌 수는 모두 11을 약수로 가지는 합성수다. 따라서 짝수 자리로 이뤄진 회문 수 중에서 11을 제외하면 회문 소수는 존재하지 않는다.
진주목걸이 모양의 중심 십각 소수
1을 시작으로 10, 20, 30, … 등 10단위로 늘어나는 수, 즉 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, … 중에서 1과 자기 자신으로만 나눠떨어지는 소수를 ‘중심 십각 소수’라고 부른다.
신기한 것은 11부터 281까지 수는 다음과 같은 규칙이 있다.
수학자들은 이런 특이한 성질을 가진 중심 십각 소수를 마치 진주 목걸이처럼 10개 단위로 묶어 그림으로 나타냈다.
