인터넷에 ‘무게중심 잠자리’ 또는 ‘균형 잠자리’를 검색하면 많은 작품이 나옵니다. 손가락 끝에서 위태로워 보이면서도 떨어지지 않고 균형을 잡는 이 작품의 수학적 원리는 무엇일까요? 숨겨진 수학 원리를 응용해 멋진 균형을 유지하는 나만의 무게중심 잠자리를 만들어봅시다.
균형의 비밀, 무게중심 알아보기
이리저리 바람에 따라 흔들리면서도 절대 떨어지지 않는 무게중심 잠자리의 비밀은 바로 무게중심입니다. 무게중심은 말 그대로 각 부분이 같은 무게를 가진 도형에서 무게의 중심을 말합니다. 가장 기본이 되는 도형인 삼각형의 무게중심을 먼저 살펴볼까요?
삼각형에서 한 꼭짓점과 그 마주 보는 변의 중점을 연결한 선분을 중선이라고 합니다. 한 삼각형에는 3개의 중선이 있고 이들은 한 점에서 만나는데, 이 점이 무게중심입니다. 삼각형 모양 종이의 점 G를 연필 끝에 올려보면 종이가 균형을 이루는 것을 볼 수 있습니다.
△ABC를 AN을 기준으로 자르면 △ABN과 △ANC로 분리됩니다. 이때 두 삼각형의 넓이는 같습니다. 그러나 무게중심을 지나지만 중선이 아닌 직선으로 삼각형을 잘랐을 때 항상 넓이가 반으로 나뉘는 것은 아닙니다.
사각형의 무게중심은 어떨까요? <;그림 1>;처럼 사각형에 대각선을 그어 2개의 삼각형으로 나눈 뒤에 두 삼각형의 무게중심을 각각 찾습니다. 두 무게중심을 잇는 G1G2 위에 사각형의 무게중심이 있습니다. 마찬가지로 <;그림 2>;처럼 사각형에 또 다른 대각선을 그어 2개의 삼각형으로 나눈 뒤에 삼각형 각각의 무게중심을 찾고 이으면, G3G4에 사각형의 무게중심이 있죠. 따라서 <;그림 3>;처럼 G1G2와 G3G4의 교점 G'가 사각형의 무게중심이 됩니다.
이 방법으로 왼쪽의 사각형 ABCD의 무게중심을 찾으려면 어떻게 해야 할까요? 이 경우는 선분이 아닌 직선을 이용하면 해결됩니다. 다양한 방법으로 사각형을 삼각형 두 개로 나눕니다. 이때 만들어진 삼각형 각각의 무게중심을 잇는 직선을 그어 생기는 교점이 무게중심입니다. 이 방식을 이용하면 사각형의 한 변에 삼각형을 붙인 오각형은 물론, 육각형, 칠각형, 팔각형, 더 나아가 사십각형 같은 복잡한 도형의 무게중심도 구할 수 있습니다. 지오지브라 프로그램을 사용해 꼭짓점이 많은 다각형을 그리고, 각 꼭짓점을 이동시켜 잠자리 모양을 갖는 도형을 만든 뒤, 무게중심을 직접 구해 무게중심 잠자리를 직접 만들어봅시다.
