d라이브러리 2021년 07월 수학동아

초등학생 때 격자무늬가 그려진 공책이 생기면 무조건 하던 게임이 있다. 바로 오목! 연필과 공책만 있으면 누구와도 승부를 겨룰 수 있었다. 친구들과 3번 대결하면 2번 정도 이기는 무난한 실력의 소유자인 하비맨이 국내 랭킹 1위 오목 기사를 만났다.

※ 편집자 주

취미를 묻는 질문에 언제나 ‘독서’라고 답하는 독자를 위해 다양한 취미를 소개한다. 수학 토핑을 듬뿍 넣은 천방지축 얼렁뚱땅 체험기를 통해 취저(취향저격) 취미를 찾아보자.

오목은 ‘말을 5개 나란히 놓는다’는 뜻입니다. 두 명이 각각 흑색 또는 백색 돌을 갖고, 서로 번갈아 두는 방식으로 게임이 진행됩니다. 가로, 세로, 대각선 중 어떤 방향으로든 상대방보다 먼저 같은 색 돌 5개를 연속해 나란히 놓는 사람이 승리합니다. 정식 경기에서는 가로세로 15줄이 그려진 판을 이용합니다.

최초로 오목을 두기 시작한 때는 약 4000년 전으로 추정됩니다. 중국, 일본 같은 동양뿐 아니라 이집트, 그리스, 콜롬비아 등 서양에서도 오목에 대한 자료가 발굴됐다고 해요.

바둑, 장기처럼 오목에도 급수 체계가 있습니다. 우리나라에서 초, 중급자는 15급부터 1급까지 15단계로 구분합니다. 숫자가 작을수록 더 실력이 있다고 말할 수 있습니다. 상급자는 1단부터 9단까지 9단계로 나눕니다. 이때는 숫자가 클수록 실력자라고 할 수 있죠. 한국오목협회에서 실력을 측정해서 급증, 단증을 받을 수 있습니다. 2021년 현재 한국 랭킹 1위인 김규현 오목 기사는 하비맨의 실력을 8급에서 5급 사이로 예측했어요.

오목에는 공평한 게임을 위해 ‘렌주규칙’을 적용합니다. 흑돌을 가진 사람이 오목판 중앙에 첫 수를 두면서 경기를 시작하는데요. 오목에서는 처음 시작하는 사람이 무조건 유리합니다. 렌주규칙은 이 유리함을 줄이기 위해 흑돌의 수(手)에 제한을 두는 것을 말합니다. 1989년부터 열리고 있는 오목 세계챔피언대회도 이 규칙에 따라 진행됩니다. 그럼 흑돌이 왜 유리한지 수학적으로 알아볼까요?

2단계 흑돌이 유리한 수학적 이유

흑돌을 두는 사람이 유리한 이유는 경기 초반에 돌 개수에서 우위를 차지하기 때문입니다. 같은 색의 돌 5개를 나열해야 하는 오목 게임에서는 오목판에 놓인 각 돌의 비율이 높을수록 승리할 확률이 높기 때문이죠. 그럼 수가 진행될수록 흑돌과 백돌 개수의 비율이 어떻게 달라지는지 알아볼까요?

우선 흑돌 하나가 정 가운데에 있는 첫 수에서는 흑돌이 1개, 백돌이 0개이므로 전체 오목판에서 흑돌이 차지하는 비율은 100%입니다. 백돌은 아직 하나도 없으니 0%죠. 백돌이 다음 돌을 놓으면 오목판에 있는 흑백돌의 개수가 같아지므로 흑돌과 백돌의 개수 비율은 모두 50%입니다. 흑돌이 두 번째 돌을 놓으면 흑돌의 비율은 66.7%(3개 중 2개), 백돌의 비율은 33.3%(3개 중 1개)가 되죠. 후반부로 갈수록 흑돌과 백돌의 비율 차이는 점점 줄어들어 50%에 가까워지지만, 초반에는 흑돌의 비율이 월등히 높아 유리하다고 할 수 있습니다. 김규현 기사는 “흑돌을 가진 사람은 경기 초반에 비율상 우위를 차지하므로, 수비보다 공격하는 것이 승리에 유리하다”고 말했습니다.

1994년 네덜란드 컴퓨터 과학자 루이 빅토르 알리스는 경기 초기에 돌을 놓을 수 있는 모든 위치를 탐색하는 알고리듬을 이용해 흑돌이 유리한 이유를 수학적으로 밝히기도 했습니다. 이런 이유로 흑돌을 두는 사람은 백돌 없이 흑돌이 세 개 나열된 모양이 두 개 이상 만들어지는 교차점에 돌을 놓는 ‘삼삼(33)’이나 흑돌이 백돌 없이 네 개 나열된 모양이 두 개 이상 만들어지는 교차점에 돌을 놓는 ‘사사(44)’가 금지돼 있죠.

오목에서는 대각선이 중요해!

다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라고 합니다. 가로는 수평 방향으로, 세로는 수직 방향으로 뻗은 직선을 의미하죠. 오목 게임을 할 때 가로, 세로, 대각선 중 어느 방향으로 돌을 나열하는 것이 유리할까요?

정답은 대각선입니다. 가로, 세로의 직선 방향으로 돌을 놓는 경우를 살펴볼까요? 나열된 돌이 주위에 미치는 영향력을 따져볼 때 직선으로 나열된 돌 3개는 12개의 교차점과 돌에 영향을 미칩니다. 돌이 4개 연결됐다면 14개의 교차점과 돌에 영향을 미치죠.

돌을 대각선으로 나열하는 경우는 어떨까요? 대각선으로 나열된 3개의 돌은 총 16개의 교차점과 돌에 영향을 미칩니다. 대각선으로 나열된 4개 돌은 20개의 교차점과 돌에 영향을 미치죠. 같은 수의 돌이라도 직선보다 대각선이 더 큰 영향을 미칩니다. 영향력이 크면 상대가 수를 둘 때 고려해야 할 변수가 많아져서 더 유리해집니다. 오목에서는 가로, 세로보다 대각선. 꼭 기억하세요!