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어떤 도형을 조각내 다른 모양의 도형을 만들 수 있으면 이 둘을 ‘분할합동’ 관계라고 합니다. 1900년 독일 수학자 다비트 힐베르트는 20세기에 풀어야 할 23가지 문제 중 하나로 분할합동 문제를 지목했습니다. 부피가 같은 두 다면체에 대해 하나를 유한개의 조각으로 나눠서 다른 하나를 만드
는 것이 언제나 가능한지 묻는 문제로, 흔히 힐베르트 3번 문제라고 부릅니다.

1901년 힐베르트의 제자인 막스 빌헬름 덴이 같은 부피의 사면체와 정육면체는 분할합동이 아니라는 것을 덴 불변량으로 밝히면서 3번 문제를 해결합니다. 덴 불변량은 입체도형을 이루는 면이 만날 때 생기는 각도 정보입니다. 이후 이 분야 수학자는 도형의 부피와 덴 불변량만으로 3차원 이상의 모든 도형을 판정할 수 있는지에 관심을 가졌습니다.

그런데 최근 조나단 캠벨 미국 듀크대학교 수학과 교수팀이 3차원 이상에서 분할합동인 도형들이 실제로 같은 부피와 덴 불변량을 가진다는 것을 일대일 대응 관계로 확인했습니다. 다만 이는 일부 도형에 대해서만 분석한 결과여서 연구팀은 관련 연구를 계속 진행할 것이라고 밝혔습니다. 이번
연구 결과는 10월 16일 ‘아카이브’에 올라온 것으로, 수학자들의 검증을 기다리고 있습니다.