‘오늘은 어떤 문제를 풀까?’ 궁금해 하는 학생들에게 오일러는 다양한 길이의 끈을 가져와 나눠줬다. 그리고는 자연수 길이의 세 변을 가지는 직각삼각형, 즉 ‘피타고라스 삼각형’을 만들라는 미션을 던졌다. 과연 학생들은 미션을 완수할 수 있을까?
“2300년 전에는 직각을 어떻게 측정했을까?”
오일러는 끈으로 이리저리 삼각형을 만들기 시작한 학생들에게 질문을 던졌다. 그도 그럴 것이 자나 각도기가 없었던 고대 이집트시대에 세워진 피라미드 같은 건축물에 자로 잰 듯 반듯한 직각이 새겨져 있기 때문이다.
고대 이집트인은 일정한 간격으로 12개의 매듭을 지은 끈을 이용해 직각을 쟀다. 전체를 3개, 4개, 5개의 매듭으로 나누고 삼각형 모양으로 연결하면 직각삼각형을 만들 수 있다. 이는 피타고라스의 정리(32+42=52)를 만족하는 자연수를 이용해 직각을 측량하는 방법이었다.
이처럼 고대 그리스와 이집트시대에는 피타고라스의 정리를 만족하는 자연수를 실생활에 적용했기 때문에 이 수를 찾는 연구가 활발했다. 피타고라스 삼조를 찾는 연구는 고대 그리스 수학자 피타고라스가 활약하던 시절보다 약 1000년 앞선 시대부터 그 흔적을 찾을 수 있다.
기원전 1800년~1650년의 바빌로니아 시대에 만든 것으로 추정되는 점토판 ‘플림톤 322(144쪽 참고)’가 대표적이다. 이 점토판에는 각각 15줄씩 4단락으로 나뉘어 쐐기문자가 적혀 있는데, 이 숫자들이 피타고라스의 정리를 만족하는 자연수라는 것을 1945년에서야 알아냈다.
고대 그리스의 유명한 수학자 에우클레이데스(유클리드)가 기원전 3세기에 쓴 책 ‘원론’에도 피타고라스 삼조 연구에 대한 흔적이 남아있다. 피타고라스 삼조를 쉽게 찾을 수 있는 공식을 소개한 것이다.
만약 자연수 m, n이 서로소고 둘 중 하나만 홀수라면, 삼조의 세 수가 서로소인 ‘원시 피타고라스 삼조’가 된다. 원시 피타고라스 삼조를 이루는 세 수를 k배 한 수들도 피타고라스 정리를 만족한다. 따라서 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
단 하나의 피타고라스 삼각형 만드는 길이는?
직각삼각형의 세 변 a, b, c의 합이 항상 같을 때 가능한 피타고라스 삼조는 몇 개 있을까? 예를 들어 세 변의 합이 12cm라면 (3, 4, 5)의 단 한 개의 피타고라스 삼조를 가진다. 반면에 세 변의 합이 20cm라면 세 변이 자연수인 직각삼각형을 만들 수 없고, 120cm의 끈으로는 (30, 40, 50), (20, 48, 52), (24,45, 51)의 총 세 가지의 서로 다른 직각삼각형을 만들 수 있다.
이번에 도전할 오일러 프로젝트 75번 문제는 길이가 1,500,000 이하의 자연수인 끈으로 세 변이 정수인 직각삼각형을 만들 때, 오직 한 개의 피타고라스 삼각형을 만들 수 있는 끈의 길이를 찾는 것이다. 앞서 나온 12cm 외에도 다양한 길이로 단 한 개의 피타고라스 삼각형을 만들 수 있다.
a, b, c에 각각 다른 수를 넣어볼 수도 있지만, 원시 피타고라스 삼조를 찾는 코드를 이용하면 간단하게 해결할 수 있다. 가능한 모든 피타고라스 삼조를 찾아 단 한 개의 피타고라스 삼각형을 만드는 경우를 찾아보자.
