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음, 역시 해바라기는 빈센트 반 고흐의 작품이 최고야. 다채로운 노란색 해바라기가 정말 화사하지? 오랜만에 작품을 감상하며 피보나치 수나 구해볼까? 

피보나치 수란 1, 1을 시작으로 바로 앞의 두 수를 더한 값이 다음 수가 되는 수를 말한다. 이런 수를 모아놓은 수의 나열을 피보나치 수열이라 부른다. 1부터 차례로 쓰면 아래와 같으며 점화식을 이용해 간단히 나타낼 수 있다. 

피보나치 수를 처음 언급한 문헌은 기원전 5세기 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책으로 알려져 있다. 이후 1202년 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치가 자신의 책 ‘주판서’에 토끼의 번식 문제를 이야기하면서 피보나치 수열을 소개해 유명해졌다. 19세기에 이르러 프랑스 수학자 에두아르 뤼카가 피보나치의 성을 따서 피보나치 수열이라고 이름을 붙였다.

피보나치가 연구한 문제는 ‘갓 태어난 한 쌍의 토끼가 1달 후부터 매달 한 쌍의 토끼를 낳는다고 할 때, 1년 뒤에는 총 몇 쌍의 토끼가 있을까?’라는 것이었다. 태어난 토끼는 절대 죽지 않는다고 가정하면, 아래 그림처럼 토끼 쌍은 1, 1, 2, 3, 5, 8… 씩 늘어난다.

자연의 신비로운 현상, 피보나치 수열

신기하게도 피보나치 수열은 자연에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 대표적인 예로 해바라기 꽃이 있다. 해바라기가 질 때쯤 꽃 머리에 빽빽하게 생기는 해바라기 씨의 배치를 나선 형태로 분석하면 피보나치 수를 찾을 수 있다. 꽃 머리의 중심을 시작으로 해바라기 씨가 시계방향으로 21개의 나선, 반시계방향으로 34개의 나선을 따라 나타나는 경우가 있기 때문이다. 해바라기가 커지면 나선 개수도 각각 55개와 89개, 또는 89개와 144개로 커지기도 하며 그 역시 피보나치 수다. 

해바라기뿐 아니라 솔방울이나 파인애플에서도 같은 방식으로 피보나치 수열을 발견할 수 있다. 이러한 피보나치 수열을 따른 배치는 좁은 공간에 되도록 많은 씨앗이나 조각을 빈틈없이 배치할 수 있는 구조라는 연구 결과도 있다.

또 많은 식물이 피보나치 수만큼의 꽃잎을 가진다. 그 예로 흰색 카라는 1장, 꽃기린은 2장, 백합은 3장, 무궁화는 5장, 코스모스는 8장, 금잔화는 13장, 과꽃은 21장, 데이지는 34장, 그리고 쑥부쟁이는 55장 또는 89장의 꽃잎을 가진다. 소라나 고둥의 딱딱한 껍데기에 나타나는 나선 모양도 피보나치 수를 따른다. 

황금비로 찾는 피보나치 수

수학자들은 피보나치 수 사이에서 규칙을 찾기도 했다. 피보나치 수열에서 연속된 두 수를 골라 큰 수를 작은 수로 나누면 고른 수가 클수록 점점 그 값이 1.618에 가까워진다. 일명 ‘황금비’라 불리는 이 값을 이용해 18세기 스위스 수학자 레온하르트 오일러와 프랑스 수학자 아브라암 드 무아브르는 피보나치 수를 찾는 수식을 만들었다. 후에 이 식을 1843년 자크 비네가 다시 발견하면서 ‘비네 공식’이라 부르기 시작했다.

오일러 프로젝트 25번 문제는 다방면으로 다뤄지는 피보나치 수에 관한 것이다. 처음으로 1000자리가 되는 피보나치 수가 피보나치 수열에서 몇 번째로 나타나는지 찾는 문제다. 간단한 코딩을 통해 답을 찾아보고 피보나치 수의 개념을 제대로 익혀보자!