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내가 우애수를 연구한 지 250년이 훌쩍 지났지만 아직도 우애수가 몇 개인지 다 밝혀지지 않았다니 놀랍군. 아차! 우애수가 뭔지 모르는 독자들도 있을 테니 먼저 그것부터 알려 주고 이번 문제를 풀어보도록 하지.

이번 문제의 주인공은 ‘우애수’다. 우정을 뜻하는 우애라는 단어를 붙인 수다. 숫자에 우정이라니 좀 어색하지만, 어떤 수인지 설명을 들어 보면 둘 사이의 특별한 관계에 고개가 끄덕여진다. 우애수란, 어떤 정수 n의 진약수(약수들 중에서 자신을 제외한 것)의 합을 d(n)이라 정의할 때, d(a)=b이고, d(b)=a인 관계가 성립하는 서로 다른 두 정수 a와 b를 말한다. a와 b를 각각 우애수(또는 친화수)라 부르고, 둘을 ‘친화쌍’이라고 일컫는다.

예를 들어 220의 진약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110이므로 그 합은 d(220)=284다. 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142이므로 d(284)=220이다. 따라서 220과 284는 각각 우애수이고, 친화쌍을 이룬다.

오일러 프로젝트의 21번 문제는 1만 이하의 우애수를 모두 찾아서 그 합을 구하라는 것이다. 1000도 아닌 1만이라니, 일일이 계산하는 것은 불가능해 보인다. 어디서부터 어떻게 시작해야 할까.

수학 천재들이 사랑한 우애수

우애수를 찾는 것은 쉽지 않은 일이다. 유명한 수학 천재들도 우애수 찾기에 도전했던 기록이 남아 있다. ‘페르마의 마지막 정리’로 잘 알려진 17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 17296과 18416이 우애수이면서 친화쌍이라는 사실을 알아냈다. 페르마와 동시대를 살았던 프랑스 수학자 르네 데카르트도 9363584와 9437056이 우애수라는 사실을 밝혔다. 스위스 수학자 레온하르트 오일러는 이들의 뒤를 이어 무려 60개의 우애수를 발견했다.

우애수에 대한 정의가 언제 이뤄졌는지에 대해서는 명확한 기록이 전해지지 않지만, 피타고라스를 비롯한 기원전 6세기 학자들도 우애수 개념을 알고 있었던 것을 보면 그보다 앞섰을 것으로 추정된다. 9세기 아랍 수학자 사비트 이븐 쿠라는 우애수를 구하는 아래 정리를 증명했다.

n≥2를 만족하는 정수 n에 대해,  p=3×2^n-1-1, q=3×2^n-1, r=9×2^2n-1-1이 소수일 때, 2ⁿ×p×q와 2ⁿ×r은 친화쌍이다.

하지만 쿠라가 세운 수식은 모든 우애수에 적용되지는 않는다. 예를 들어 우애수 220과 284는 n=2일 때로 p, q, r이 각각 5, 7, 71로 모두 소수이고, 2²×p×q와 2²×r로 구해진다. 우애수 17296과 18416도 n=4일 때다. 반면 6232와 6368은 우애수지만 이 관계식을 만족하지 않는다. 쿠라가 만든 식은 우애수를 구하는 충분조건이지만 필요조건은 아니라는 뜻이다.

오일러는 쿠라의 정리를 일반화시켜서 새로운 정리를 증명했다. 1≤m≤n-1을 만족하는 정수 m, n에 대해 p=2^m(2^n-m+1)-1, q=2ⁿ(2^n-m+1)-1, r=2^n+m(2^n-m+1)²-1이 소수일 때, 2ⁿ×p×q와 2ⁿ×r은 친화쌍이라는 것이다. 하지만 오일러가 만든 수식 역시 모든 우애수를 찾아내는 필요충분조건은 아니었다.

많은 수학자의 노력에 의해 1949년까지 390쌍의 우애수가 밝혀졌다. 이후 컴퓨터 기술이 발전하면서 2018년 11월을 기준으로 1,222,214,178 쌍의 우애수가 있다는 것이 밝혀졌다.

영화에도 등장한 우애수
 

우애수는 소설과 영화에도 등장했다. 일본 소설 ‘박사가 사랑한 수식’과 이 소설을 토대로 만든 같은 이름의 영화에서 우애수는 이야기 전개를 위해 중요한 소재로 쓰였다. 주인공은 장래가 촉망되는 수학자였지만 불의의 사고로 기억이 80분 동안만 유지되는 박사다.

박사가 쿄코라는 여자 주인공과 소통하는 소재로 220과 284라는 우애수가 쓰인다. 쿄코의 생일이 2월 20일이며, 박사가 대학 학장에게 상으로 받은 시계에 새겨진 번호가 284라는 이유로 박사는 여자 주인공에게 친밀감을 느낀다는 설정이다. 박사의 말을 듣고 매일 밤 220과 284 이외의 우애수를 찾기 위해 계산을 했다는 쿄코에게 박사는 “그 다음으로 작은 우애수는 1184와 1210이야”라고 말한다.

이제 오일러 프로젝트의 21번 문제로 돌아가 보자. 벌써 세 쌍의 우애수들을 스포일러로 소개했다. 1만 이하의 다른 우애수들은 어떻게 구할지 도전해 보자.