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이 중 2, 7, 9는 같은 파랑색인데, 2+7=9가 됩니다. 만일 자연수 전체를 세 가지 색으로 색칠한다고 할 때 같은 색으로 된 x, y, x+y가 하나도 나오지 않게 색칠할 수 있을까요?

1916년 독일의 수학자 이사이 슈어는 색깔 수가 유한개라면, 색을 어떻게 칠하더라도 x, y, x+y가 모두 같은 색이 되는 x, y가 있다는 것을 증명했습니다. 지난 호에 소개한 램지정리를 이용하면 슈어의 정리는 쉽게 보일 수 있습니다.

1927년 네덜란드의 수학자 바르털 레인더르트 판데르바르던은 자연수 전체를 세 가지 색으로 칠하면 어떻게 칠하더라도 색이 같은 x, x+y, x+2y, x+3y, x+4y가 있다는 것을 증명합니다. 즉 같은 색깔이며, 길이가 5인 등차수열이 있다는 거지요. 여기서 한걸음 더 나아가 색깔 수나 등차수열의 길이를 늘려도 항상 성립한다것을 보입니다.

‘PrimeGrid.com’이라는 홈페이지에서는 여러 명이 동시에 컴퓨터를 돌려 소수로 만들어진, 길이 27짜리 등차수열을 찾는 프로젝트가 진행 중입니다. 가지고 있는 컴퓨터가 할 일이 없을 때 PrimeGrid.com에서 프로그램을 다운받아 돌리면 소수 찾는 계산에 동참할 수 있습니다. 자기 컴퓨터가 소수를 찾으면 발견자로 이름도 올릴 수 있습니다.

다시 같은 색이 되는 등차수열을 찾는 이야기로 돌아옵시다. x, y, x+y나 x, x+y, x+2y처럼 같은 색이 되길 원하는 수를 아무렇게나 x, y에 관한 식으로 적어도, 언제나 같은 색이 되는 x, y를 찾을 수 있을까요?

반드시 그렇지는 않습니다. 예를 들어 x, x+1이 같은 색이 되는 x가 반드시 있다고는 말할 수 없거든요. 모든 홀수는 빨강색, 짝수는 파랑색으로 칠하면 x와 x+1은 항상 다른 색이 되니까요.

같은 색의 조건은? 라도의 정리
그럼 언제 슈어 정리나 판데르바르던 정리처럼 같은 색으로 수를 찾을 수 있을까요? 1933년 영국인 수학자 리처드 라도는 유한개의 색으로 자연수를 어떻게 칠하더라도 여러 개 모아 놓은 일차식만 보고 같은 색이 되게 하는 x와 y를 정할 수 있는지 판별하는 방법을 찾았습니다. 일명 라도의 정리입니다. 변수가 여러 개라도 일차식이기만 하면 같은 색의 수를 찾을 수 있는 강력한 정리입니다.

그런데 일차식을 넘어서면 문제는 훨씬 어려워집니다. 수학자들은 유한개의 색으로 자연수를 칠했을 때 어떤 경우에 항상 같은 색이 되게 하는 x, y가 있는지 완전히 알고 싶어 하지만 발전의 속도가 더디기만 합니다.