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전통 문양 속 수학

단청은 목조건물에 여러 가지 색깔의 무늬를 그려 장식한 문양이다. 단청은 동양오행설의 영향을 받아 청색, 적색, 황색, 백색, 그리고 흑색으로 다섯가지 색을 사용한다. 단청은 장식용으로만 이용되지 않고 기능적인 용도로도 쓰이는데, 목조건물에서 비바람에 나무가 썩지 않도록 보호해준다.

심미성과 기능성을 모두 갖춘 단청의 기하학적인 무늬에서 수학적 규칙도 찾을 수 있다. 바로 ‘평면의 대칭군’이다. 평면의 대칭군은 2차원 평면을 채우는 반복적인 무늬에 따라 분류하는 방법이다. 각 무늬가 가지고 있는 대칭성을 기준으로 하는데, 평면의 대칭군은 총 17개로 분류할 수 있다. 17개의 규칙은 기본적인 네 가지 조작으로 이뤄진다. 평행이동, 회전, 반사, 그리고 미끄럼반사다. 평행이동은 원래의 형태를 유지하면서 일정한 방향으로 이동하는 것을 말하고, 회전은 말 그대로 회전축을 중심으로 회전하는 것을 말한다. 반사는 거울대칭을 말하고 미끄럼반사는 앞서 말한 평행이동과 반사를 동시에 만족시키는 것을 뜻한다. 이 네가지를 기본으로 평면을 채우는 경우를 세어 보면 총 17가지의 경우의 수가 나오게 된다.

평면의 대칭군이라는 속성을 이용해 단청 퍼즐을 만들 수도 있다. 퍼즐의 종류는 다양한데, 단청퍼즐은 도형퍼즐의 일종이다. 퍼즐 중에서 도형을 분할하거나 합체해 조각을 맞춰나가는 것을 도형퍼즐이라고 한다. 이 도형퍼즐을 기하학에서는 쪽매맞춤이라고 표현한다. 쪽매맞춤은 평면을 합동인 도형으로 빈틈없이 메우는 것을 말한다. 모자이크나 화장실 바닥과 벽에 깔린 타일도 쪽매맞춤의 예로 들 수 있다.

단청 퍼즐로 우리나라 전통문양의 아름다움도 느끼고 생활 속에서 쓰이는 수학의 원리도 알 수 있다. 이제 단청 퍼즐을 하며 전통 문양 속 수학을 찾아보자.