사람들은 언제나 ‘멋지고 힘이 센’ 차를 원한다. 자동차의 생명은 디자인과 엔진인 셈이다. 자동차 회사들은 이 두 마리 토끼를 잡기 위해 모든 수단을 동원한다. 그 중에서 빠질 수 없는 조력자가 수학이다. 디자이너의 스케치가 자동차로 변신해 모터쇼에 등장하기까지 다양한 함수들이 쓰이며, 시속 400km를 돌파하는 스포츠카의 엔진 속에도 수학이 숨어 있다. 자동차 속 수학을 살펴보자.
‘잘 빠진’ 자동차의 비결은 함수?
모터쇼에 들어서는 순간 차들의 우아한 자태에 감탄을 하게 된다. 특히 차를 감싸는 곡면이 매우 수려해, 그 자체를 하나의 예술 작품이라고 할 만하다.
하지만 자동차가 처음부터 이렇게 멋진 모습을 지녔던 것은 아니다. 자동차 디자인을 위해 100년 넘게 기술을 갈고 닦은 결과다. 요즘 자동차들은 대부분 부드러운 곡면으로 이루어져 있지만, 초창기 자동차들은 각진 육면체 형태가 대세였다. 후에 속력을 높이기 위해 공기의 저항을 적게 받는 유선형으로 바뀐 것이다.
사람들은 시간이 지나면서 빠르게 잘 달리면서도 아름다운 자동차를 원하게 되었다. 이를 위해 자동차 디자이너들은 곡면을 활용하기 시작했다. 그리고 이때 수학이 중요한 역할을 한다. 바로 스플라인 함수다.
스플라인 함수는 여러 개의 점들을 이어 매끄러운 곡선을 만들 때 필요한 함수로, 흔히 파워포인트 곡선을 그릴 때 사용된다. 지정된 점들을 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에 맞는 2차, 3차 다항식 등을 구해서 전체적으로 이어지는 곡선을 만들면 스플라인 함수가 된다.
즉, 여러 개의 고차다항식 곡선을 부드럽게 이어나가는 셈이다. 이때 최고차항의 차수가 높을수록 곡선은 둥근 모양이 된다.
스플라인 함수는 자동차 디자인을 모델링 할 때 주로 사용된다. 보통 자동차를 디자인할 때는 먼저 클레이(점토)로 모형을 만들어 본다. 형태가 완성되면 레이저 스캔을 해서 3차원 설계도를 구하고, 이렇게 구한 기본적인 설계도를 컴퓨터로 다시 정교하게 다듬는다. 이때 스플라인 함수를 이용하여 특색 있는 곡선을 그려 넣거나, 차체의 곡면을 더 볼록하거나 오목하게 만드는 등 다양하게 조절할 수 있다.
엔진 속의 다크호스, 수학
자동차의 심장인 엔진에도 그 원리부터 생김새까지 수학이 들어 있다. 자동차는 초창기부터 피스톤이 왕복운동을 하는 실린더 엔진을 사용해왔다. 하지만 독일의 엔지니어 펠릭스 방켈은 실린더 엔진이 너무 복잡하다고 생각해 단순하게 만들기 위해 연구했다. 그 결과 1929년에 회전식 엔진을 완성했으며, 그의 이름을 따서 방켈 엔진 혹은 로터리 엔진이라고 부른다.
로터리 엔진의 연소실은 에피트로코이드 곡선 모양이다(그림 참조). 연소실 안에서 연료가 폭발할 때마다 볼록한 삼각형 회전자가 뱅글뱅글 돌도록 되어 있다. 그리고 삼각형 회전자의 축과 바퀴가 연결되어 있어 차가 앞으로 나가게 된다. 에피트로코이드 곡선을 활용한 덕분에 피스톤이 움직이는 복잡한 과정 없이 단박에 바퀴를 굴릴 수 있게 된 것이다.
에피트로코이드와 스플라인 함수 등 수학이 차에 쓰이기 시작하면서 자동차는 더 멋지고 강해졌다. 더 강력한 엔진, 더욱 아름다운 차가 탄생할 때마다 힘을 보탠 수학이 앞으로는 어떤 공헌을 할지 기대해 본다.
