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“아빠, 엉덩이 아파 죽겠어요. 잠시 쉬었다 가면 안 돼요?”
“뢸로 삼각형이라면 일반 삼각형보다 통통하게 생긴 삼각형을말하는 거죠? 그럼 구면 삼각형은 뭐예요?”
“그러게. 분명 생긴 건 비슷하게 생겼는데…. 이참에 알아보자꾸나.”
같은 모양이지만 수학적 성질은 다르다!
뢸로 삼각형과 구면 삼각형은 눈으로만 보면 쉽게 구별하지 못할 만큼 서로 닮아 있다. 하지만 둘은 수학적 정의부터 성질까지 같은 구석이라고는 전혀 찾아볼 수 없는 완전히 다른 도형이다.
둘의 가장 큰 차이점은 삼각형이 생기는 공간이다. 먼저 뢸로 삼각형은 평면 위에 생긴다. 즉 우리가 일반적으로 알고 있는 유클리드 기하학에서 표현된다. 여기에서 직선은 두 점을 이은 곧게 뻗은 선이고, 각도는 두 직선이 만나 이루는 각의 크기로 정의한다.
하지만 구면 삼각형은 평면이 아니라 둥근 구면 위에 생기는 삼각형이다. 즉 유클리드 기하학이 아닌 비유클리드 기하학의 일종인 구면 기하학에서 표현된다. 구면 위에서 도형의 성질을 파악하기 때문에 수학자들은 구면 기하학이라고 이름 붙였다. 여기서 직선은 대원이고, 각도는 두 대원이 이루는 각도다. 대원은 구를 가장 크게 둘러싸는 원이다.
한편 뢸로 삼각형은 도형의 각 꼭짓점에서 호까지의 거리가 항상 같다. 이 때문에 뢸로 삼각형과 접하는 평행선을 그리면 그 거리가 항상 일정하다. 또 폭이 같은 도형 중에서 면적이 가장 작다. 이처럼 도형과 접하는 두 평행선의 거리가 항상 일정한 도형을 정폭도형이라고 하는데, 원과 뢸로 삼각형은 그 중 하나다.
사실 뢸로 삼각형은 삼각형의 성질을 갖지 않는다. 일직선 상에 있는 세 직선이 만나 생긴 도형도 아니고, 내각의 합도 180°가 아니기 때문이다. 다만 19세기 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로가 기계 장치에 삼각형 모양의 도형을 사용하면서 뢸로 삼각형이라고 이름 붙었다.
한편 구면 삼각형은 구면 위에 정의된 삼각형으로, 서로 다른 대원 세 개가 만나는 점을 이었을때 생기는 도형이다. 삼각형의 내각의 합은 항상 180°보다 크고 540°보다 작다. 또 구면 위에서는 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않는다.
아하! 실험 플러스 뢸로 다각형과 구면 다각형
뢸로 삼각형으로 만든 자동차는 울퉁불퉁한 길에서도 잘 달릴 수 있다. 삼각형의 꼭짓점이 움푹 패인 곳으로 들어가면서, 뢸로 삼각형 중심의 높이가 일정하게 유지되는 효과를 얻기 때문이다.
그런데 왜 자동차 바퀴는 항상 원 모양일까? 그 이유는 자동차의 속도를 빠르게 하기 위해서다. 바퀴가 굴러갈 때 축의 높이가 일정해야 자동차의 속도가 빠른데, 원이 이 조건을 만족한다. 원은 원의 중심으로부터 호까지의 거리가 일정해, 원을 굴려도 축의 높이가 변하지 않는다.
하지만 뢸로 삼각형은 그렇지 않다. 뢸로 삼각형은 각 꼭짓점에서 호까지의 거리가 같지만, 중심에서 호까지의 거리는 다르기 때문이다. 즉 뢸로 삼각형은 지름은 일정하지만, 반지름의 길이는 같지 않다. 따라서 평평한 도로에서는 바퀴가 들쑥날쑥 움직인다.
그런데 뢸로 삼각형 자동차를 평평한 도로에서도 잘 달릴 수 있게 하는 방법이 있다. 바로 계산을 통해 바퀴가 최대한 많이 흔들리지 않는 곳을 찾아 바퀴의 중심축을 끼우는 것이다. 그러면 울퉁불퉁한 도로는 물론, 평평한 도로에서도 잘 달린다.
한편 실험 ❶을 응용하면 다양한 모양의 자동차 바퀴를 만들 수도 있다. 정사각형을 그린 뒤, 각 꼭짓점에서 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 갖는 원호를 그리면 뢸로 사각형이 완성된다. 같은 방법으로 오각형, 육각형 등 모든 정다각형에 대해 뢸로 다각형을 만들 수 있다.
또한 실험 ❷에서 만든 구면 삼각형의 중심을 모두 이으면 구면 사각형을 얻을 수 있다. 실험 ❷의 두번째 단계에서 구면 삼각형의 중심을 이어 직접 만들어 보자.
구면에서 정사각형은 ‘모든 변의 길이가 같고, 변들이 만나서 이루는 각의 크기가 같은 사각형’을 뜻한다. 이때 한 내각의 크기는 직각보다 크다. 실제로 구면에서 정오각형의 한 내각의 크기는 유클리드 기하학에서 한 내각의 크기인 108°보다 크다.
이처럼 정폭도형과 구면 다각형은 그 모양은 비슷하지만 수학적 성질과 두 도형을 그리는 법이 다르다.
